课 题 函数的概念和图像
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教学目的
1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域
2.能用描点法画函数的图像
3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法
4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法
5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法
6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值
7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法
了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处
教学内容
1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别
2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22
-=②1-=x y ③1
1+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定
3.通常表示函数的方法有：
4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。

函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。

讲授新课： 一、函数的判断
例1.<1>下列对应是函数的是
注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应） ①x y y x =→: ②12++→x x x
<2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ） 注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数 A.()()()2
,x x g x x f =
= B.()()2,x x g x x f =
=
C.()()2
4,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f ==
练习：
1.设有函数组：①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x x
y x y =
=,④()()
x x y x x y =<>⎩⎨⎧-=,0011 ⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10
lg
,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。

二：函数的定义域
注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R.
(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合
(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域：
（1）2
322
---=x x x
y （2）x x y -⋅-=11
（3）x
y --=
113 （4）2253x x y -+-=
（5）()⎪⎩⎪
⎨⎧--=x
x x x f 2341 （6）t 是时间，距离()t t f 360-=
2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。

3.若函数()3
1
2
3
++-=mx mx x x f 的定义域是R ，求m 的取值范围。

练习：
1.求下列函数的定义域： （1）()142
--=
x x f ； （2）()2
14
32-+--=
x x x x f
（3）()x
x f 11111++
=
； （4）()()x
x x x f -+=
1
2.已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=342x f x f y 的定义域。

三、函数值和函数的值域
例1、求下列函数的值域：（观察法）
（1）2415+-=x x y （2）1
23
422--+-=x x x x y
例2.求函数3
27
4222++-+=x x x x y 的值域（反解法）
例3.求函数12--=x x y 的值域（配方换元法）
例4.求函数()22
415≥+-=
x x x y 的值域（不等式法）
例5.画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

（图像法） 练习：
1.求下列函数的值域:
(1)23+=x y (2)x x f -+=42)( (3)1+=x x y (4)x
x y 1+=
2.求下列函数的值域：
（1）242
-+-=x x y （2）12++=x x y （3）3
22122+-+-=x x x x y
四、函数解析式：
例1、已知11
112-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x f ，求()x f 的解析式。

（换元法）
例2.设二次函数()x f y =的最小值等于4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式。

（待定系数法）
例3.甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km,甲10时出发前往乙家。

如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程()km y 与时间()min x 的关系。

试写出)(x f y =的函数表达式。

练习： 1.已知(
)
x x x f 21+=+，求()x f 。

2、已知)(x f 是一次函数，且()()14-=x x f f ，求)(x f 的解析式。

3、设)(x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,，有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求
()x f 的表达式。

4、求函数21-++=x x y 的值域。

五、单调性：
例1.证明：()13+-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数。

（定义法）
2.证明：函数()x
x x f 1
+=在(]1,0上是减函数
例2.画出函数()342+-=x x x f 的图像，并由图像写出函数)(x f 的单调区间。

3、复合函数 注：定义域相同时：
()x f 1
()x f 2
()()()
x f x f x g 21±=
增
增
增
减 减 减
()x g u =
()u f y = ()()x g f y =
增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增
减
例：已知函数()228x x x f -+=，()()
22x f x g -=，试求()x g 的单调区间。

练习：
1.确定函数()x
x f 211-=
的单调性。

2.试判断函数()x x f a a log log =（0>a 且1≠a ）在区间()+∞,1上的单调性。

3.已知()32++=ax x x f 在区间[]1,1-上的最小值为-3，求实数a 的值。

单调性的应用
例：1.已知函数()x f 对任意的R y x ∈,，总有()()()y x f y f x f +=+，且当0>x 时，()()3
2
1,0-=<f x f
（1）求证：()x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[]3,3-上的最大值、最小值。

六、奇偶性
例.判断函数奇偶性： （1）()x x x f -+-=22；
（2）()1122-+-=x x x f ；
（3）()()R a a x a x x f ∈--+=
（4）()2
212
-+-=x x x f 练习：
判断函数的奇偶性：
（1）()()x x x f 2212+=；
（2）()()
1lg 2++=x x x f ；
（3）()221lg lg x x x f +=； （4）()()x
x x x f -+-=111； （5）()()()
0022<≥⎩⎨⎧++-=x x x
x x x x f 例.奇偶性的应用 1.已知()q
x px x f ++=322是奇函数，且()352=f 。

（1）求实数q p ,的值；
（2）判断函数()x f 在()1,-∞-上的单调性，并加以证明。

2.已知函数()()
()21122++-+-=n x m x m x f ，则当n m ,为何值时，)(x f 是奇函数？
练习：
1.已知)(x f 是奇函数，且0>x 时，(),2-=x x x f 求0<x 时，求)(x f 的解析式。

2.已知定义域为R 的奇函数)(x f ，求证：若在区间[]()0,>>a b b a 上，)(x f 有最大值M ，那么)(x f 在区间[]a b --,上必有最小值-M.。