二次根式的概念及性质
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。

（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52
t 。

如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。

【知识梳理1】二次根式的概念
形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。

注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“
”，如：2、
3
2
等都是二次根式。

尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式；
（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如
21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式；
（3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2；
形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1
152
的形式。

【例题精讲】二次根式的定义
例1. 在式子()12,02,1,42
2
2
3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个 【试一试】
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a
2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。

【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。

根据具体的情况可分类讨论如下：
a 2a
b 1x +2
1x +3
（1）单个二次根式如
A 有意义的条件：A≥0；
（2）多个二次根式相加如
A B N ＋＋…＋有意义的条件：
000A B N ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩≥，≥，…≥；
（3）二次根式作为分式的分母如
B
A
有意义的条件：A ＞0； （4）二次根式与分式的和如
1
A B ＋
有意义的条件：0.
A B ⎧⎨⎩≥0，≠ 重点剖析：当二次根式的被开方数是分式时，除了要保证被开方数是非负数外，还要同时保证分母不能为零。

【例题精讲】二次根式有意义的条件 例1. 当x 取什么实数时，下列各式有意义?
（1）x -； （2）()2
12-x ； （3）x x -⋅-21；
（4）()()x x --21； （5）
5124
--x x ； （6）311
x
--．
【试一试】
1. 若32-a 是二次根式,则字母a 应满足的条件是( ) A 、23
≠a B 、 23≤a C 、 23>a D 、 2
3≥a 2. 当a 满足__________时， a
2
-有意义。

3. 当
2
1-a 有意义时，a 的取值范围是_________________。

4. 若x x -+有意义，则x 的取值范围是_______________。

5. 使式子x -4有意义且取得最小值的x 的取值是( )
A 、0
B 、4
C 、2
D 、不存在
【知识梳理3】二次根式的性质
性质1：式子a （a≥0）具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a 的算术平方根。

具体描述为（1）a 是非负数，a 的最小值是0；（2）a 的被开方数a 是非负数。

性质2：(a )2＝a (______)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

注：不能忽略被开方数为非负数这个限制条件，从而出现类似()()2
5﹣
＝﹣5式的错误。

性质3：2a ＝a ＝____0)__0)((__a a ⎧⎨
⎩≥＜，
，
即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于 ；当一个
数为负数时，它的平方的算术平方根等于 。

注：a 的取值范围是任意实数，不一定总是非负数，须避免出现类似(
)2
7﹣＝﹣7式的错误。

【例题精讲1】二次根式的性质
例1. 已知443422-=++++-c c b a ，求c
b
a
)(的值。

例2. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2
1a a －
＋。

【试一试】
1. 若0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为 。

2. 已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A 、3
B 、– 3
C 、1
D 、– 1
3. 已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。

4. 若
1
a b -+与
24a b ++互为相反数，则()
2005
_____________
a b -=。

5. 实数a 、b 在数轴上的位置如下图所示，且a b ＞，化简2
a －a
b ＋。

【例题精讲2】二次根式的化简
例1. 当x=-2时，二次根式x 2
12-的值为_______。

例2. 填空：当a≥0时，＝_____；当a ＜0时，＝_______， 并根据这一性质回答下列问题。

若＝a ，则a 可以是什么数？ 若＝-a ，则a 可以是什么数？ ＞a ，则a 可以是什么数？ 当m ＜3时，()
2
3m －＝ 。

【试一试】
1. 计算：（1）21142⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝ ；22
112233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋﹣
＝ ；()223⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹣﹣＝ 。

2. a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A 、＝≥-
B 、＞＞-
C 、＜＜-
D 、-＞＝
3. 当时，代数式的值是 。

【例题精讲3】利用二次根式的非负性求值
例1. 已知3260x y x y ＋－＋－＋＝，求x 、y 的值。

例2. 已知226y x x ＝－＋－＋，求x
y
的值。

2
a 2
a 2a 2
a 2
a 2a 2
()a -2
a 2a 2()a -2a 2a 2
()a -2
a 2a 2()a -2a 2a 2
a 2
()a -2-=x 1352
--x x
1、化简：()
3313--
2、已知2x <,则化简244x x -+的结果是（ ）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
3、根式2(3)-的值是( )
A 、-3
B 、3或-3
C 、3
D 、9
4、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A 、－a
B 、a
C 、－3a
D 、3a 5、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
A 、 －1
B 、 1
C 、2a －7
D 、 7－2a 6、化简2
1816x x x ---+的结果是2x -5，则x 的取值范围是（
）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、 x ≥1
D 、x ≤1 7、若代数式2
2
(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ）
A 、4a ≥
B 、2a ≤
C 、24a ≤≤
D 、2a =或4a =
8、如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）
A 、 a=0
B 、a=1
C 、 a=0或a=1
D 、 a≤1
一、选择题。

1、实数a ､b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b|﹣2
a 的结果是（ ）
A 、 2a ﹣b
B 、 b
C 、﹣b
D 、﹣2a+b
2、若x<2，化简2(x 2)-+|3﹣x|的正确结果是（ ）
A 、 ﹣1
B 、 1
C 、2x ﹣5
D 、5﹣2x
2a。