高三文科数学专题复习之圆锥曲线 名 称 椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点的距离的和为常数(大于)的动点的轨迹叫椭圆即当2﹥2时,轨迹是椭圆,当2=2时,轨迹是一条线段当2﹤2时,轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线即当2﹤2时,轨迹是双曲线 当2=2时,轨迹是两条射线 当2﹥2时,轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时:焦点在轴上时:注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时:焦点在轴上时:常数的关 系,, 最大,,最大,可以渐近线焦点在轴上时:焦点在轴上时:抛物线:图形方程焦点准线(一)椭圆1. 椭圆的性质:由椭圆方程(1)范围:,椭圆落在组成的矩形中。
(2)对称性:图象关于y轴对称。
图象关于x轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心,简称中心。
x轴、y轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。
(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点:,。
加两焦点共有六个特殊点。
叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴。
长分别为。
分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。
椭圆形状与的关系:,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例。
椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为是椭圆在时的特例。
2. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式3. 椭圆的准线方程对于,左准线;右准线对于,下准线;上准线焦点到准线的距离(焦参数)(二)双曲线的几何性质:1. (1)范围、对称性由标准方程,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心。
(2)顶点顶点:,特殊点:实轴:长为2a,a叫做实半轴长。
虚轴:长为2b,b叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异。
(3)渐近线过双曲线的渐近线()(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率范围:e>1双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。
2. 等轴双曲线定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率。
3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:或写成。
4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c相同。
共用一对渐近线。
双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1。
5. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。
其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线。
常数e是双曲线的离心率。
6. 双曲线的准线方程:对于来说,相对于左焦点对应着左准线,相对于右焦点对应着右准线;焦点到准线的距离(也叫焦参数)。
对于来说,相对于下焦点对应着下准线;相对于上焦点对应着上准线。
(三)抛物线的几何性质(1)范围因为p>0,由方程可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2)对称性以-y代y,方程不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中,当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点。
(4)离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示。
由抛物线的定义可知,e=1。
【典型例题】例1. 根据下列条件,写出椭圆方程(1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8;(2)和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);(3)中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的距离是。
分析:求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。
解:(1)焦点位置可在x轴上,也可在y轴上因此有两解:(2)焦点位置确定,且为(0,),设原方程为,(a>b>0),由已知条件有,故方程为。
(3)设椭圆方程为,(a>b>0)由题设条件有及a2=b2+c2,解得b=故所求椭圆的方程是。
例2. 直线与双曲线相交于A、B两点,当为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?解:把代入整理得: (1)当时,由>0得且时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支,须>0,所以或。
故当或时,A、B两点在同一支上;当时,A、B两点在双曲线的两支上。
例3. 已知抛物线方程为(p>0),直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值。
解:设与抛物线交于由距离公式|AB|=则有由从而即由于p>0,解得例4.过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是-=-1,kAB=-1,设l的方程为y=-x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=.∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=-x+1.解法二:由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-.直线l:y=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=-1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一.解法3:设椭圆方程为直线不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。
故可设直线,,,,,,,,,,,,,则,,,,所以所求的椭圆方程为:例5.如图,已知△P1OP2的面积为,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.解:以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a>0,b>0)由e2=,得.∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=-x设点P1(x1, x1),P2(x2,-x2)(x1>0,x2>0),则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上,所以=1,即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.例6. 已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足(1)求点P的轨迹C对应的方程;(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD⊥AE,判断:直线DE是否过定点?试证明你的结论.(3)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证:直线DE过定点,并求出这个定点.解:(1)设【模拟试题】(答题时间:50分钟)一、选择题1. 是任意实数,则方程所表示的曲线不可能是()A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆2. 已知椭的一条准线方程是,则实数的值是()A. 7或-7B. 4或12C. 1或15D. 03. 双曲线的离心率,则的取值范围为()A. B. (-12,0) C. (-3,0) D. (-60,-12)4. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A. B.C. D.5. 抛物线的焦点坐标为()A. B. C. D.6. 已知点A(-2,1),的焦点为F,P是的点,为使取得最小值,点的坐标是()A. B. C. D.7. 已知双曲线的渐近线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为()A. B.C. D.8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为()A. B. C. D.9. 动圆的圆心在抛物线上,且动圆与直线相切,则动圆必过定点()A. (4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,-2)10.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为( )二、填空题11. 到定点(2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。
12.双曲线的一条准线是,则___________。
13. 已知点(-2,3)与抛物线的焦点距离是5,____________。
14.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。
三、解答题15. 已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2,0)作斜率为的直线,交双曲线于M、N 两点,且=4,求双曲线方程。
16. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、,为右焦点。
求:的最值17. 已知椭圆的一个焦点为,对应的准线方程为,且离心率满足,成等比数列。
(1)求椭圆的方程。
(2)试问是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线平分?若存在,求出的倾角的取值范围,若不存在,请说明理由。
18. 如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【试题答案】1. C2. C3. B4. A5. B6. A7. A8. B9. B 10.C11.12. -13. 4 14. =115. 解:设所求双曲线方程为(a>0,b>0),由右焦点为(2,0)。