１高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时， 轨迹是椭圆，当2a ＝2c 时， 轨迹是一条线段21F F当2a ﹤2c 时， 轨迹不存在平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时， 轨迹是双曲线当2a ＝2c 时， 轨迹是两条射线当2a ﹥2c 时， 轨迹不存在标准方程 焦点在x 轴上时： 12222=+by a x焦点在y 轴上时：12222=+bx a y注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x 轴上时：12222=-by a x焦点在y 轴上时：12222=-b x a y常数cb a ,,的关 系222b c a +=， 0>>b a ，a 最大，bc b c b c ><=,,222b a c +=， 0>>a cc 最大， 可以b a b a b a ><=,,渐近线焦点在x 轴上时：0x ya b ±= 焦点在y 轴上时：0y xa b±=抛物线：２图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y)0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p -)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-， 椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。

（2）对称性:图象关于y 轴对称。

图象关于x 轴对称。

图象关于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称的截距。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -， ),0(),,0(2b B b B -。

加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。

21A A 叫椭圆的长轴， 21B B 叫椭圆的短轴。

长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。

a ce =⇒2)(1ab e -=。

10<<e 。

椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ， 椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。

,,1a c e →→椭圆变扁， 直至成为极限位置线段21F F ， 此时也可认为是椭圆在1=e 时的特例。

2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ， 那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫做焦点， 定直线叫做准线， 常数e 就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的， 它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程对于12222=+by a x ， 左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=３对于12222=+b x a y ， 下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ， 从横的方向来看， 直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象， 从纵的方向来看， 随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大， 所以曲线在纵方向上可无限伸展， 不像椭圆那样是封闭曲线。

双曲线不封闭， 但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -， 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a,a 叫做实半轴长。

虚轴：21B B 长为2b ， b 叫做虚半轴长。

双曲线只有两个顶点， 而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异。

（3）渐近线过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22， 叫做双曲线的离心率 范围：e>1 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， e 越大， 即渐近线的斜率的绝对值就越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知， 双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔。

2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 。

3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x ka kb， 那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 。

4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴， 虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

区别：４三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。

共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线。

其中， 定点叫做双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线。

常数e 是双曲线的离心率。

6. 双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说， 相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）。

对于12222=-b x a y 来说， 相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。

（三）抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0， 由方程()022>=p px y 可知， 这条抛物线上的点M 的坐标（x ， y ）满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时， |y|也增大， 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性以－y 代y ， 方程()022>=p px y 不变， 所以这条抛物线关于x 轴对称， 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中， 当y ＝0时， x ＝0， 因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点。

（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比， 叫做抛物线的离心率， 用e 表示。

由抛物线的定义可知， e ＝1。

【典型例题】例1. 根据下列条件， 写出椭圆方程（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；５（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点， 且经过点（2， －3）；（3）中心在原点， 焦点在x 轴上， 从一个焦点看短轴两端的视角为直角， 焦点到长轴上较近顶点的距离是510－。

分析：求椭圆的标准方程， 首先要根据焦点位置确定方程形式， 其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。

解：（1）焦点位置可在x 轴上， 也可在y 轴上因此有两解：112x 16y 112y 16x 2222=+=+或 （2）焦点位置确定， 且为（0， 5±）， 设原方程为22221y x a b+=,（a>b>0）， 由已知条件有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14952222b ab a 10,1522==⇒b a ， 故方程为110x 15y 22=+。

（3）设椭圆方程为12222=+by a x ,（a>b>0）由题设条件有⎩⎨⎧-=-=510c a cb 及a2＝b2＋c2， 解得b ＝10,5=a故所求椭圆的方程是15y 10x 22=+。

例2. 直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点， 当a 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？ 解：把1+=kx y 代入1322=-y x整理得：022)3(22=---ax x a (1)当3±≠a 时， 2424a -=∆由∆>0得6a 6<<-且3±≠a 时， 方程组有两解， 直线与双曲线有两个交点若A 、B 在双曲线的同一支， 须32221-=a x x >0， 所以3〈-a 或3>a 。

故当36-<<-a 或63<<a 时， A 、B 两点在同一支上；当33<<-a 时， A 、B 两点在双曲线的两支上。

６例3. 已知抛物线方程为)1x (p 2y 2+=（p>0）， 直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3， 求p 的值。

解：设l 与抛物线交于1122(,),(,),|| 3.A x y B x y AB =则 由距离公式|AB|＝|y y |2|y y |k11)y y ()x -(x 21212221221-=-+=-+ 则有2129().2y y -=由02y x ，)1(221222=-+⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+p py ，x p y p y x 得消去.,2.04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=∆从而212212214)()(y y y y y y -+=- 即294)2(22=+-p p 由于p>0， 解得43=p 例4. 过点(1， 0)的直线l 与中心在原点， 焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点， 直线y=21x 过线段AB 的中点， 同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称， 试求直线l 与椭圆C 的方程.解法一：由e=22=a c ,得21222=-a b a ,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得， (x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x0,y0),则kAB=－2y x , 又(x0,y0)在直线y=21x 上， y0=21x0,于是－2y x =－1,kAB=－1, 设l 的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),BAy=12xoyxF 2F 1７⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1－b)在椭圆上， 得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y=－x+1.解法二：由e=21,22222=-=a b a a c 得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C 的方程为x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x －1),将l 的方程代入C 的方程， 得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0, 则x1+x2=22214kk +,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk +.直线l ：y=21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k=0， 或k=－1.若k=0,则l 的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身， 不能在椭圆C 上， 所以k=0舍去， 从而k=－1， 直线l 的方程为y=－(x －1),即y=－x+1,以下同解法一. 解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴， 否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾。