2
2
t1
0
du dv du dv E1 + 2 F1 + G1 dt dt dt dt dt
2
2
即有 Edu 2 + 2 Fdudv + G dv 2 = E1du 2 + 2 F1dudv + G1dv 2 对于两曲面上的曲线都成立，即对任方向都成立，因此有
dv δv dv δv E + F( + ) + G =0 du δu du δu A C AC E − F( + ) + G =0 即 B D BD 若另给出一簇曲线 Adu + Bdv = 0 ,
或 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是
即
A δv A δv E + F ( − + ) + G (− ) = 0 B δu B δu BE − AF δv =− δu BF − AG
4、第一基本形式是正定的。
2 2 2 2 2 2 事实上，E = ru ⋅ ru = ru > 0, G = rv > 0, EG − F = ru rv − (ru ⋅ rv ) > 0.
2 也可从 Ι = ds 直接得到。
例题1：求球面的第一基本形式
r = {R cosθ cos ϕ , R cosθ sin ϕ , R sin θ }
因此 E = F = G E1 F1 G1 充分性 由于第一基本形式成比例，得
E = λ2 E1 , F = λ2 F1 , G = λ2G1
代入交角公式知对应曲线的交角相等。 特别：等距变换是它的特例。
Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv = 0
E1duδu + F1 (duδv + δudv) + G1dvδv = 0
消去 δu, δv 得 Edu + Fdv = Fdu + Gdv E1du + F1dv F1du + G1dv
F G E F = = 由du,dv的任意性，在du=0时有 ， dv=0时有 F1 G1 E1 F1
称为第一类基本量。
2、曲线 (C)上两点 A (t0) , B (t1) 间的弧长为：
ds du dv du dv s=∫ dt = ∫ E + 2 F + G t 0 dt t0 dt dt dt dt
t1 t1
2
2
dt
3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式
第二节 曲面的第一基本形式 2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长
1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 、 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
r ′(t ) = ru
du dv + rv 或 dt dt
例2：正螺面
x = u cos v, y = u sin v, z = av Ι = ds 2 = du 2 + (u 2 + a 2 )dv 2
2、2 曲面上两方向的交角 1、把两个向 量 dr = ru du + rv dv 和 δr = ruδu + rvδv 间的交角 称为方向（ du : dv ）和（ δu : δv ）间的角。 2、设两方向的夹角为 θ ，则
(d ) ⊥ (δ ) ⇔ Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv = 0
（2）对于坐标曲线的交角，有
dr ⋅ δr ru ⋅ rv cosθ = = = dr δr ru rv
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
F EG
2、3
正交曲线簇和正交轨线
设有两曲线 Adu + Bdv = 0 , C (u, v)δu + D(u, v)δv = 0 如果它们正交，则 Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv = 0
u1 = u1 (u, v) ， v1 = v1 (u , v ) ∂ (u, v) ≠0 其中 u1 (u , v), v1 (u , v) 连续，有连续的偏导数，且
这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。
∂ (u1 , v1 )
由于 S1 : r1 = r1 (u1 , v1 ) = r1 (u1 (u , v ), v1 (u , v )) = r1 (u , v ) 这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中 我们总假定在对应点有相同的参数。 2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的 长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。
r = {x, y, z ( x, y )} ∂z ∂z rx = {1,0, p}, ry = {0,1, q}, p = , q = . ∂x ∂y E = rx ⋅ rx = 1 + p 2 , F = rx ⋅ ry = pq, G = ry ⋅ ry = 1 + q 2 Ι = (1 + p 2 )dx 2 + 2 pqdxdy + (1 + q 2 )dy 2
定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适 当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。 证明：必要性 设s与s1是等距的且对应点有相同的参数，则s 上任一条曲线与s1 上对应曲线有相同的长度，即对于 t ∈ [t0 , t1 ]
∫
t1
t0
du dv du dv + G dt = ∫t E + 2F dt dt dt dt
dr ⋅ δr (ru du + rv dv)(ruδu + rvδv) cos θ = = dr δr dr 2 δr 2 = Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 Eδu 2 + 2 Fδuδv + Gδv 2
（1）
3、特别
2、4 曲面域的面积 如图,用坐标曲线把曲面 分成若干小块,每块的面积 为
(u, v + dv) (u + du, v + dv)
rvdv
P(u, v)
rudu
(u+ du, v)
dσ = ru du × rv dv = ru × rv dudv
D D D
σ = ∫∫ dσ = ∫∫ ru × rv dudv = ∫∫ EG − F 2 dudv
dr = ru du + rv dv
ds 2 = dr 2 = (ru du + rv dv) 2 若 s 表示弧长有 = ru ⋅ ru du 2 + 2ru ⋅ rv dudv + rv ⋅ rv dv 2
所以 称为曲面的第一基本形式。其中
Ι = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2
E = ru ⋅ ru , F = ru ⋅ rv , G = rv ⋅ rv
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
(ru × rv ) 2 = ru2 rv2 − (ru ⋅ rv ) 2 = EG − F 2 > 0
定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲 面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长， 曲面上两方向的交角，曲面域的面积。
2、5 等距变换 、 1) 曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面： S：r = r (u , v ) S1：r1 = r1 (u1 , v1 ) 如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：
E = E1 , F = F1 , G = G1
充分性 设两曲面有相同的第一基本形式，由Байду номын сангаас弧长由第一基本 形式决定，所以它们的弧长相同。 由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质（内蕴性质） 在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不 变量。
2、6 保角变换（共形变换） 1） 定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交 角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换） 2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们 的第一基本形式成比例。 证明：设取相同的参数时两个第一基本形式为Ⅰ，Ⅰ1。 必要性：设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正 交条件 得