F ( s) = K1 K K + 2 + 3 s s+2 s+4
K1 =
( s + 1)( s + 3) 3 ×s = s ( s + 2)( s + 4) 8 s =0 ( s + 1)( s + 3) 1 = ( s + 2) s ( s + 2)( s + 4) 4 s = −2
K2 =
K3 =
1 1 F (s) = × s 1 − e− s
故 (3)
f (t ) = U (t ) ∗ ∑ δ (t − K ) = ∑ U (t − K )
n =0 k =0
∞
∞
,
K∈N
F (s) =
1 − e− s 1 − e− s × s 2
因有 故
1 U (t ) − U (t − 1) ↔ (1 − e − s ) s
(4)
F ( s) =
1 4 s2 3s + 2 =1− =1+ − 2 s + 3s + 2 ( s + 1)(s + 2) s +1 s + 2
f (t ) = δ (t ) + (e − t − 4e −2t )U (t )
5.3 求下列各像函数 F (s ) 的原函数 f (t ) 。
(1) F (s ) =
5.8 图题 5-8(a)所示电路，已知激励 f (t ) 的波形如图题 5-8(b)所示。求响 应 u (t ) ，并画出 u (t ) 的波形。
f (t ) / V
1Ω
N
3
+
f (t )
+
-
1Ω
1F
u (t )
0 -2
t
-
(a)
(b)
图题 5-8 答案 图题 5-8（a）所示电路的开关等效电路，如图题 5-8（c）所示。 t < 0 时 S 在 1，电路已
2
(2) F (s ) =
1 s (1 − e − s )
⎡1 − e − s ⎤ (3) F (s ) = ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦
答案 (1)
F ( s) =
因
2 1 2e − ( s −1) + × ( s − 1) 2 + 22 2 ( s − 1) 2 + 22
又因有
sin 2tU (t ) ↔
s 3 + 6s 2 + 6s s 2 + 6s + 8
(2) F (s ) =
1 2 s (s + 1)
2
答案 (1)
F (s) = s + 2 −4 + s+2 s+4
f (t ) = δ ′(t ) + (2e −2t − 4e −4t )U (t )
(2)
F (s) =
K11 K12 K K 21 K 22 1 2 3 1 −3 + + 13 + 2 + = + + + 2+ 3 2 3 2 ( s + 1) ( s + 1) s +1 s s ( s + 1) ( s + 2) s +1 s s
答案
2 令 F ( s ) 的分母 ( s + 2) ( s + 3) = 0 ，得到一个单极点 s1 = −3 和一个二重极点
s2 = −2 。下面求各
极点上的留数。
Re s1 = F ( s )(s + 3)e st
[
]
s = −3
⎡ 4s 2 + 17 s + 16 st ⎤ e ⎥ = e − 3t =⎢ 2 ⎣ ( s + 2) ⎦ s = −3
s2 + 2s + 1 s3 − s2 − s + 1
(2) F (s ) =
s3 s2 + s + 1
(3) F (s ) =
2s + 1 3 s + 3s 2 + 2 s
(4) F (s ) =
1 − e −2 s s (s 2 + 4 )
答案 （1） 初值定理应用的条件是， F ( s ) 必须是真分式；终值定理应用的条件式：
2 s +4
2
故由时移性有 又由复频移性有
sin 2(t − 1)U (t − 1) ↔
2 e −s s  (t − 1) ↔
2 e − ( s −1) 2 ( s − 1) + 4
故 (2)
1 f (t ) = et sin 2tU (t ) + et sin 2(t − 1)U (t − 1) 2
1 s + s +1
2
又
F (s) = s − 1 +
故
f (0 + ) = lim s
s→∞
1 =0 s + s +1
2
(3)
f (∞ ) = lim s
s →0
2s + 1 1 = 3 s + 3s + 2 s 2
3
f (0 + ) = lim s
s →∞
2s + 1 =0 s + 3s 2 + 2 s
F ( s ) 的极点必
须在 s 平面的左半开平面；（2）在 s = 0 处， F ( s ) 只能有一阶极点。也就是 说，终值定理只 有在 f (t ) 有终值的情况下才能应用。例如，当 f (t ) 维周期函数时就，终值定 理就不能适用了。 (1)
F ( s) =
s 2 + 2s + 1 ( s + 1) 2 ( s + 1) 2 = = s 3 − s 2 − s + 1 ( s − 1)( s 2 − 1) ( s − 1) 2 ( s + 1)
f (t ) = ( 12 − 2t 34 − 3t 152 −12t e − e + e )U (t ) 5 9 45
(3) 3s + 5 2 1 =2+ + ( s + 1)( s + 2) s +1 s + 2
F ( s) = 2 +
f (t ) = 2δ (t ) + (2e − t + e −2t )U (t )
3e − 2t + (−2)te − 2t = (3 − 2t )e − 2t
[
]
故
f (t ) = e −3t + (3 − 2t )e −2t U (t )
[
]
+ 5.6 求下列各像函数 F (s ) 的原函数 f (t ) 的初值 f (0 ) 与终值 f (∞ ) 。
(1) F (s ) =
(s + 1)(s + 3) s (s + 2 )(s + 4 )
2s2 + 9s + 9 s 2 + 3s + 2
(2) F (s ) =
2 s 2 + 16 (s 2 + 5s + 6)(s + 12 )
(3) F (s ) =
(4) F (s ) =
s3 (s 2 + 3s + 2)s
答案 (1)
3
(4)
f (0 + ) = lim s
s →∞
1 − e −2 s =0 s( s 2 + 4)
因 F ( s ) 在 jω 轴上有一对共轭极点，故 F ( s ) 对应的 f (t ) 不存在终值。
'' ' ' 5.7 已知系统的微分方程为 y (t ) + 3 y (t ) + 2 y (t ) = f (t ) + 3 f (t )
第五章 习 题
5.1 求下列各时间函数 f (t ) 的像函数 F (s ) 。
− at (1) f (t ) = (1 − e )U (t )
(2) f (t ) = sin (ωt + φ )U (t )
1 1 − e − at U (t ) a
(3) f (t ) = e
− at
(1 − at )U (t )
f (t ) = [U (t ) − U (t − 1)] ∗ [U (t ) − U (t − 1)] = tU (t ) − 2(t − 1)U (t − 1) + (t − 2)U (t − 2)
5.5 用留数法求像函数 F (s ) =
4 s 2 + 17 s + 16 的原函数 f (t ) 。 2 (s + 2 ) (s + 3)
(8)
−α t F ( s ) = L [ e + α t − 1] = L ⎡ ⎣ − (1 − e ) ⎤ ⎦ + L [α t ] =
−α α α2 + 2 = 2 s(s + α ) s s (s + α )
5.2 求下列各像函数 F (s ) 的原函数 f (t ) 。
(1) F (s ) =
(2)
F (s) =
s sinψ + ω cosψ s2 + ω
F ( s) =
(3)
s (s + α )2
F ( s) =
(4)
1
α
×
α
s(s + α )
=
1 s( s + α )