加速度
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
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例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
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圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
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三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t

j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
2



圆周运动 的半径
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dv v a n dt R
v k (l x )
dx 质点沿x方向运动 v k (l x ) dt
O
P
A
x
dx kdt (l x )

x 0
dx (l x )

t 0
kdt
x l e kt
a
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v
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dx ke kt dt
dv k 2 e kt dt
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20
ds (2) v dt
ds vd t
s

t 0
a τ td t
1 2 s aτ t 2
此即用自然坐标法表示的质点的运动学方程
第2秒内通过的路程
1 s 3 ( 2 2 12 ) 4 .5 m 2
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在自然坐标系中，只要知道质点的运动学方程s=f(t), 就可 以求出质点在任意时刻速度的大小和方向。
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加速度——对于圆周运动 由定义
dv d ( v ) a dt d t dv a v dt dt d ？
n

当t0， 的大小

v
v
加速度 a 的大小
a 2 a n 2
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一般的曲线运动
其中 为曲率半径，n的方向指向曲率圆中心
引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半 径的圆弧所构成 P v aτ A •
d dv dτ dv v2 a (v τ ) τv τ n dt dt dt dt
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dt
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例题
一质点沿X轴运动，采用SI单位制，其加速度和位置 在数值上满足a=2+6x。已知在x=0处，速度v=10，求 质点的速度与位置的关系。
解：根据加速度的定义
dv d v d x d x d v dv a v dt dt dx dt dx dx
dv v 2 6x dx
an

a
an

a
v2 an R
变化
a
a
2 2 n
a a a
变化
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a
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an tg a
变化
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均匀=不变
例题 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动 学方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
v d v ( 2
6 x )d x
1 2 v 2x 3x2 c 2
根据初始条件，x=0时，v=10.确定积分常数：c=50
1 2 v 2 x 3 x 2 50 2
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v 4 x 6 x2 100
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例题 如图，质点沿x轴正方向向A点运动，已知OA=l,设 t=0时，质点位于坐标原点，质点在任意时刻的速率 正比于它所在的位置到A点的距离，比例常量为k， 试求：x,v,a随时间变化的规律。 解：设任意时刻质点位于P点，根据题意
a R 2i R j
d2r 0 2 dt
dr vr 0 dt
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2
加速度
a R i R j
2
j
O
i

O/
2 v 法向加速度—— 沿半径方向指向圆心 an R 2 R
dv a R dt
只改变速 度的方向
切向加速度——沿切线方向 只改变速 度的大小 质点做圆周运动时线量（速度、 加速度）和角量（角速度、角 加速度）之间的关系


B
an

2 2


a
a aτ a n
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an , tan θ aτ
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线量
R
关
系
角量
角位 移 角速 度 角加 速度
o

S 线量S
S=R
d dS R 速度v v R dt dt
圆 周 运 动
切向加 a 速度 法向加 速度
d dv R R dt dt 2 v 2 an R R
2 τ 2 n
dv aτ 0 .4 dt

2
( 20 0 .4 1) a (1) 0 .4 200
2
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DUT 常葆荣
2
2 1 . 44 m/s
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2
例题 质点沿半径R=3m的圆周运动，已知切向加速度 a=3m/s2, t=0时质点位于O1点，其速度为vO1=0. 试求（1）t=1s时质点速度和加速度的大小（2） 第2秒内质点所通过的路程。 R 解： t=0时质点位于O1点，就以 O1点作为自然坐 标的原点，以质点运动的方向为自然坐标的 正方向。设t时刻质点速度大小为v，自然坐 标为s. v t d v (1) a dv a dt dv a dt
v
dx 2 dy 2 ( ) ( ) dt dt
a
d2x 2 d2 y 2 ( 2) ( 2 ) dt dt

先求矢量的各分量对时间的导数，再求速度和加速度 的模。 正确区别矢量导数的模与矢量模的导数的不同。
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运动学的两类问题
求导
1、题设+坐标系+初始条件运动学方程
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例题 在离水面高度为h的岸边，有人用v0 的速度收绳拉船靠 岸，求船被拉到离岸边x处的速率。 v0 解：设船速为 。在∆t时间内，船发生的位移为 r 绳缩短的距离为 r r h r dr dr
1
曲线运动的特例——圆周运动
圆周运动：指质点的轨迹在平面极坐标内的投影是一个半 径为R的圆，并且圆心在极点上。
速度
dr v i r j dt dr dR 0 dt dt
v R j
速度只有 沿切线方 向的分量
加速度
d2r a ( 2 r 2 )i ( r 2vr ) j dt
第一项： 切向加速度
2
dv a dt
v n ann R
加速 减速
DUT 常葆荣
dv 大小：a dt
方向：

意义： 反映速度大小变化的快慢
2
第二项： 法向加速度
v2 大小： an R
方向：
n
意义： 反映速度方向变化的快慢
a a a n n
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1、基本概念： 位置矢量 r ：坐标原点质点
dv d r 速度： v d r 加速度： a 2 dt dt dt 2、速度和加速度在不同坐标系中的分量表示
位移 r ：位置矢量的增量
2
直角坐标系
dr 速度 v i r j 平面极坐标系 dt d2r 2 法向加速度 a r 2vr 切向加速度 ar 2 r dt
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2 v 2 an R R dv a R dt
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v R
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
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DUT 常葆荣
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讨论
分析行星通过M、N点时速率分别是增大
还是减小？