2

0
dv v 2 a n＝a x i a y j a z k dt

瞬时曲率半径
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动 运动中的加速度
an
v
2

dv a dt

0
2
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a

a
ds v v dt
ds v dt
1、 瞬时速率
v
：
n
S+
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。

O

大学物理
二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
d v a dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此， 自然坐标系中可将速度表示为：
2
＝1
大学物理
自然坐标系下加速度表达式：
2 dv v a n dt R
o
n
a
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
an a P
a dv dt
2 v an R
a 切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 an 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
大学物理
Key: c
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。 对圆周运动而言：曲率半径各点相同 R, 于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时， 仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
v an a dv t dt



以圆周运动为例：
v dv
d
dv d ( ) v dt dt
d
B

v
A
1 d d ds v n n n dt dt ds dt
dS d
d 1 ds
d

d 2
1
dv v a n0 dt
Hale Waihona Puke a 2 2 2 a a a an dv dt v 2
加速度总是指向曲线的凹侧

an
2
a
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a
2 a an 2
a

加速度
方向
tan
2 2 2
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律
s v0t bt2 / 2 运动，
v0、b 都是正的常量。求：
（ 1） t 时刻质点的总加速度的大小
一、自然坐标系下的速度
s s(t t ) s(t ) r v lim t 0 t ds dt
z
s
p
r (t )
v
r
s
q
r (t t )
o
x
自然坐标系下的 速度表达式 大学物理
y
ds v v dt
讨论物理意义：
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、 a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
an
v2 an R

at
a
an
2 t

a
变化
at
2 n
a a
变化
a
at
an tg at
变化
大学物理
均匀=不变
大学物理
a a 0 an an n0
切向加速度、反映速度大小变化，
法向加速度、反映速度方向变化， an 0，a 0 变速直线运动；
a 0，an 0 为匀速率曲线运动（圆 周运动）
2 dv v a a an 0 n0 dt
v2
2
2 an
v 2 dv dt
2
dv a2 dt
2

1 y
y x
2 x
3
2
大学物理
四、讨论几种特殊情况：
下面三种情况分别代表那一类运动？
１ . ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a ＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
v0
x

an
a
y
g
大学物理
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
x

an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g t
例、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口 为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时 t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。 解：(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
1 x2 g y 2 2 v0
大学物理
上册
v,a
自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐 标系 , 其一根坐标轴沿轨道切线 方向 , 正方向为运动的前进方向； 另一根沿轨道法线方向，正方向 指向轨道内凹的一侧。 切向单位矢量
n

n
大学物理
n


法向单位矢量
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
1
an a
a
n
an
？
i jk 与
两组单位矢量
o
大学物理
的区别是什么？
练习
1: 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速 度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变 化越快
v v
dv d a v dt dt
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
dv d a v dt dt

难点：
d 的大小如何？方向如何 ？ dt
大学物理
d dv a v(t ) dt dt