特征方程的根
通解中的对应项
若是k重根r
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e rx
若是k重共轭 ex[C (1C 2x C kxk 1)coxs 复根 i (D 1D 2x D kxk 1)six n ]
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5.7 常系数齐次线性微分方程
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每 一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各 一个任意常数.
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
16y24y9y0,
例
解初值问题
yx04,
y 2. x0
解 特征方程 1r2 6 2r 490
特征根 r 3 (二重根) 4
所以方程的通解为 4y(C1C2x0)e4 3x0
C14y(4C2x)e4 3x
(ln y)lny,
令 zlny则 zz0二阶常系数齐次线性方程
特征方程 r210 特征根 r1
通解 z C 1 e x C 2 e x ,所以 lnyC 1 exC 2 e x. 此方程属于 yf(y,y)型 .设 yp, y pdp.
dy
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5.7 常系数齐次线性微分方程
作业
习题5.7(186页）
y 2 3C 24 3C 20x e4 3x 0
3x
C21 特解 y(4x)e4 .
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5.7 常系数齐次线性微分方程
考研数学(二)选择, 4分
函数 y C 1 e x C 2 e 2 x x e x 满足的一个微分
方程是
( A ) y y 2 y 3 x e x . ( B )y y 2 y 3 e x . ( C ) y y 2 y 3 x e x . ( D )y y 2 y 3 e x .
定理5.3 设y是二阶非齐次线性方微程分 y P (x )y Q (x )yf(x )(2 )的一 ,Y 是 个 与(2)对应的齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 ( 1 ) 的通解, 那y 么 Yy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的通解.
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5.7 常系数齐次线性微分方程
考研数学(一)填空, 3分
设 y e x ( C 1 sx i C n 2 cx o ) (C1, s C2为任意常数)
为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解, 则微分 方程为
解 由所给通解的表达式知, r1,21i是所求 由微分方程的特征方程的根, 于是特征方程为 r22 r20 ,故所求微分方程为
y C 1 y 1 C 2 y 2 C n y n .
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5.7 常系数齐次线性微分方程
例 求方程 y (4 ) 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程 r4 2 r3 5 r2 0
即
r2 (r2 2 r 5 ) 0
特征根 r1r20和 r3,412i
故所求通解为
yC 1 C 2x e x ( C 3 c2 o x C 4 s s2 i x ) n .
求通解的步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r2p rq0
(2) 求出特征根
(3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1r2
y C 1 e r 1 x C 2 e r 2 x
实根 r1r2
复根 r1,2i
y (C 1 C 2 x )e r 2 x
y e x ( C 1 cx o C 2 si x )n
57常系数齐次线性微分方 程
5.7 常系数齐次线性微分方程
一、定义
y p y q 0 y
二阶常系数 齐次线性 方程
y p y q f y ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
2
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
特征根 r11(单根) r2,3i(二重)共轭复根
对应的特解
y1ex, y2c ox,sy3 sinx,y4xcox,sy5 xsin x
故所求通解
yC 1ex(C 2C 3x)co x s(C 4 C 5 x )six .n
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5.7 常系数齐次线性微分方程
四、小结
二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0
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5.7 常系数齐次线性微分方程
例 求 y ( 5 ) 方 y ( 4 ) 2 y 程 2 y y y 0 的 . 通 解 特征方程 (r 5 r 4 ) (2 r 3 2 r 2 ) (r 1 ) 0
r 4 ( r 1 ) 2 r 2 ( r 1 ) ( r 1 ) 0 (r 1 )r 4 ( 2 r 2 1 ) 0 (r 1 )r(2 1 )2 0
y 2 y 2 y 0 .
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5.7 常系数齐次线性微分方程
三、n阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数 线性微分方程
特征方程 r n P 1 r n 1 P n5.7 常系数齐次线性微分方程
思考题
求微分方程 y y (y )2 y 2ln y的通解.
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5.7 常系数齐次线性微分方程
求微分方程 y y (y )2 y 2ln y的通解.
思考题解答
因为 y0,所以
y
yy(y)2 y2
lny,
y y
lny,
所以
y (lny)x
y, 所以 y