本科毕业论文题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院专业：信息与计算科学班级：信计081姓名：张倩学号：2008121191指导教师：庞常词完成日期：2012年6月1日目录摘要.ⅡABSTRACT (Ⅲ)1前言1.1微分方程的发展和应用 (1)1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2)1.3本文的研究内容及意义 (2)2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系2.1基本概念 (3)2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3)2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5)3 微分方程的恰当方程解法3.1恰当方程的概念 (8)3.2恰当微分方程解法 (10)4 微分方程的积分因子解法4.1积分因子的概念 (14)4.2积分因子解法 (14)5二阶变系数微分方程可积的条件结论 (22)谢辞 (23)参考文献 (24)摘要微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。
在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。
如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。
本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。
关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子S olve For Varied Coefficient Second OrderLiner Differential EquationABSTRACTSecond order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard.If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition.This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation.Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation1前言1.1 微分方程的发展和应用数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。
但是在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式。
这种联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称为微分方程。
微分方程是研究自变量、未知函数及它的导数之间的关系的数学科学。
它是伴随着微积分的产生和发展而形成的一门历史悠久的学科，至今已有300多年的历史了。
微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动的解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法。
牛顿在研究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。
此后，法国天文学家勒维烈利用微分方程计算出海王星的位置，这些都是表面微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着广泛的应用。
在常微分方程发展的初期，人们主要是针对各种实际问题列出方程，用积分得方法求其准确的解析表达式，也就是初等积分法。
这种方法一直沿用到十九世纪中期，直到法国数学家刘维尔与1841年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人们放弃这种方法。
从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研究阶段。
随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。
此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。
反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。
1.2 二级变系数线性常微分方程的重要性常微分方程作为其他自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到很多学者们的重视，很多专家发表相关著作和论文，从而使微分方程的理论发展的了比较完善的程度。
众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法，但是幂级数解法计算了大，而且不能得到解析解，不便于理论上的分析。
因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。
1.3 本文的研究内容及意义变系数二阶线性微分方程的求解基本理论已发展到了一定程度，很多学者也提出了很多不同的特殊方法解决一些具体某种特点的变系数方程，特别是在利用积分因子及恰当方程的方法领域取得了显著成就。
但是大家对于如何判断方程是否可积及如何确定积分因子和恰当方程仍然存在疑惑，感觉无从下手。
论文正是在这种情况下通过对有关变系数二阶微分方程的教材和文献的研究，总结了前人的成果，从本质上阐述了确定积分因子和恰当方程的思想和方法，同时给出了判断方程是否可积的条件。
通过积分一种法和恰当方程法，进一步从整体上阐述了变系数二阶线性微分方程的基本思想和步骤。
2 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系2.1 基本概念如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种方程为常微分方程。
若()p x 、()q x 为连续非常数的函数，方程''()'()()y p x y q x y f x ++=则称为二阶变系数线性微分方程。
其中()p x 、()q x 及()f x 都是某区间上的连续函数。
如果()f x 恒等于零，那么该方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；如果()f x 非恒等于零，那么该方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程。
我们把含有2个独立的任意常数12,c c 的解 12(,,)y x c c ϕ=称为二阶方程22'(,,,,)'dx d x d x F x y dy d y d y的通解。
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件这就是所谓的定解条件，常见的定解的条件是初值条件和边值条件。
所谓二阶微分方程的初值条件通常是指以下两个条件：当0x x =时，00,dy y y y dx==这里001,,x y y 是给定的3个常数。
2.2 二阶变系数线性微分方程的求解定理已知 变系数二阶常微分方程''()'()()y a x y b x y f x ++=，在相对应Riccati 方程2'()()z z a x z b x =-+可知一个特解的情况下，给出了方程''()'()()y a x y b x y f x ++= (2.1)求解的积分公式。
引理1 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且()z x 是Riccati 方程2'()()z z a x z b x =-+ 的一个特解，则方程(2.1)的通解积分公式为()(2()())(()())12((()))f x dx b x a x dx a x z x dx y e e f x e dx c dx c ---⎰⎰⎰=++⎰⎰ 。
引理 2 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且211()'()()24b x a x a xc --≡（常数），则方程(2.1)的通解可求出。
定理 2.1 若211()'()()24b x a x a x c --≡（常数），则方程(2.1)相对应的Riccati 方程的特解是：（i ）当 0c = 时， 11()2z a x x =-； （ii ）当0c >时，1()tan 2z a x =+ ；（iii ）当0c <时，1()2z a x =+ 。
推论2.1.1 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且211()'()()24b x a x a xc --≡（常数），则方程（2.1）对应其次方程 (''()'()0y a x y b x y ++=的通解是：（i ）当0c =时， 1()221()a x dx y e c x c -⎰=- ； （ii ）当0c >时，1()22cos )a x dx y e c -⎰=+ ； （iii ）二阶变系数线性微分方程(2.1)(()0)p x ≠能化为常系数线性微分方程的充要条件是：224()2'()4p q x p x k l -+=-（,k l 为常数）。