高中数学课时分层作业6比较法证明不等式（含解析）北师大版
选修45
课时分层作业(六)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( )
A ．M ≥N
B ．M ≤N
C ．M ＝N
D ．不能确定 [解析] ∵2M －2N ＝(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2≥0，∴M ≥N .
[答案] A
2．如果实数a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A ．ab >ac
B ．c (b －a )>0
C ．ac (a －c )<0
D ．cb 2<ab 2
[解析] 由条件知a >0，c <0，b 的符号不定，
∴A 一定成立，B 一定成立，C 一定成立，而D 中，b 可能为0，故不一定成立．
[答案] D
3．已知a >b >－1，则
1a ＋1与1b ＋1的大小关系是( ) A ．
1a ＋1>1b ＋1 B ．1a ＋1<1b ＋1 C ．1a ＋1≥1b ＋1 D ．1a ＋1≤1b ＋1
[解析] ∵a >b >－1，∴a ＋1>0，b ＋1>0，a －b >0，则
1a ＋1－1b ＋1＝b －a (a ＋1)(b ＋1)<0，∴1a ＋1<1b ＋1
. [答案] B
4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝
an bn ＋1，其中a ，b 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是( )
A ．a n >a n ＋1
B ．a n <a n ＋1
C ．a n ＝a n ＋1
D ．与n 的取值有关 [解析] a n ＋1－a n ＝
a (n ＋1)
b (n ＋1)＋1－an bn ＋1
＝
a
(bn＋b＋1)(bn＋1)
.
∵a>0，b>0，n∈N＋，
∴a n＋1－a n>0，a n＋1>a n.
[答案] B
5．设x＝2，y＝7－3，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是( ) A．x>y>z B．z>x>y
C．y>z>x D．x>z>y
[解析]y＝7－3＝
4
7＋3
，z＝6－2＝
4
6＋2
.
∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.
又x－z＝2－
4
6＋2
＝
23＋2－4
6＋2
＝
23－2
6＋2
>0，
∴x>z，∴x>z>y.
[答案] D
二、填空题
6．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________________．
[解析](a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(b1－b2)(a1－a2)．∵a1≤a2，b1≤b2，∴上式≥0.
故a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
[答案]a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1
7．若x<y<0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)·(x＋y)，则M，N的大小关系为__________．[解析]M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，
∴－2xy(x－y)>0，∴M－N>0，即M>N.
[答案]M>N
8．已知a>0,1>b>0，a－b>ab，则1＋a与
1
1－b
的大小关系是__________．
[解析]∵a>0,1>b>0，a－b>ab，∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab>1.
从而1＋a
1
1－b
＝(1＋a)(1－b)>1，
∴1＋a >
11－b . [答案] 1＋a >11－b
三、解答题
9．若q >0，且q ≠1，m ，n ∈N ＋，比较1＋q m +n 与q m ＋q n
的大小．
[解] 1＋q m +n －q m －q n
＝q m (q n －1)－(q n －1)
＝(q n －1)(q m －1)，
①当0<q <1时，q n <1，q m <1.
②当q >1时，q n >1，q m >1.
∴(q n －1)(q m －1)>0，∴1＋q m +n >q m ＋q n . 10．已知a ，b 均为正数，n ∈N ＋，求证：b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b
. [证明] 设P ＝b n -1a n ＋a n -1b n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝b n -1－a n -1a n ＋a n -1－b n -1
b n
＝(a n -1－b n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b
n －1a n ＝(a n -1－b n -1)(a n －b n )a n b
n . 若a >b >0，则a n -1>b n -1，a n >b n
，
所以a n -1－b n -1>0，a n －b n >0，且a n b n >0，
因此P >0；
若b >a >0，则a n -1<b n -1，a n <b n ，
所以a n -1－b n -1<0，a n －b n <0，且a n b n >0，故P >0；
若a ＝b >0，则P ＝0.
综上所述，P ≥0，故原式成立．
[能力提升练] 1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，a ，b 是正数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )
A ．A ≤
B ≤C
B ．A ≤
C ≤B C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b
， 又f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在R 上是减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f ()ab ≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b . [答案] A 2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a
[解析] ∵2<e<10，∴0<lg e<12. ⎭
⎪⎬⎪⎫a －b ＝lg e (1－lg e )>0⇒a >b ，
a －c ＝lg e －12lg e ＝12
lg e>0⇒a >c ，b －c ＝lg e ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg e －12<0⇒b <c ⇒a >c >b . [答案] B
3．一个个体户有一种商品，其成本低于350元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应__________(填“月初”或“月末”)出售．
[解析] 设这种商品的成本费为a 元．月初利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a .
则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －3 5009. ∵a <350，
∴L 1－L 2<0，
∴L 1<L 2，月末出售好．
[答案] 月末
4．已知a ＞2，求证：log a (a －1)＜log (a ＋1)a .
[证明] ∵a ＞2，
则a －1＞1，
∴log a (a －1)＞0，log (a ＋1)a ＞0，
由于log a (a －1)log (a ＋1)a
＝log a (a －1)·log a (a ＋1)
＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a －1)＋log a (a ＋1)22 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2
－1)22. ∵a ＞2，∴0＜log a (a 2－1)＜log a a 2＝2， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a 222＝1， 因此log a (a －1)log (a ＋1)a
＜1. ∵log (a ＋1)a ＞0， ∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a .。