a 1(1 q 1 q
n
)
q
1
n a1 q 1
判断下列各式是否正确
× 51445442…444453 n
1(11n 11
)

0
( 2) n
124816…(2)n1 1(12n ) 1(2)
×
× 1222 23 …2n 1(12n ) n+1 12
1.841019 1000多年才能生产这么多小麦， 国王无论如何是不能实现发明
者的要求的。
运用：
练习1：
已知a n 是a1 3,q 2的等比数列，求Ｓ４及Ｓ６
解：由S n

a 1(1 q 1q
n
)
有：
S
4

3(124 12
)

45;
S
6

3(126 12
)
189
升华：
对于公式S n

a 1(1 q 1 q
n
)
变 形
S
n

a1 1 q

a1 1 q
q
n
可看成是以正整数n
为自变量的函数S
。
n
我们可以把a1,q称为等比数列a n 的关键量。
运用：
例2：求和 1 x x 2 x 3 x n1.
解:由已知条件得 a1 =1,q =x
Sn na1.
反思：
等比数列前n项和的推导利用了 错位相减法。如何理解这一方法？
用错位相减法求数列的前n项和的实 质是把等式两边同乘以一个数q，得一新 等式，错位相减求出 S n q S n ，这样可 以消去大量的“中间项”（或是让中间 项容易求和），从而求S n出 。
辨析：
SnFra bibliotek 等比数列 前n项和公式
S
n


a
1
(1 q 1 q
n
)
q
1
n a1 q 1
数
数
学
学
源
用
于
于
生
生
活
活
作业
(1)必做题：课本Ｐ61，Ａ1
(2)提高题：求和 1+2x +3x 2 +…+nx n-1
(3)趣味题:
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
2.4.2等比数列前n项和公式
日喀则市第三高级中学 龚兵 2015年12月2日
1 2 22 23 24
…
263
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1,2,22,23,L 262,263
它是以1为首项，2为公比的等比数列，
麦粒的总数为:
? 1+2+22 +23 +L +262 +263 =S64
谢谢
推导：
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
错 位
则它的前n项和
相
由通项公式 an =a1qn-1 有：
减
Sn a1 a1q a1q 2 … a1q n2 a1q n1
①
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q 2 a1q3 ……a1q n1 a1q n
S64 1 2 22 23 L 263.
它是求 a1 1,q 2 的等比数列的前64项和
S64

1(1264 12
)

264
如果1000粒麦粒重为40克，
1那么这些麦粒的总质量就是
7300多亿吨。根据统计资料显
＝1844674407示6亿3，7吨0全，9世5就界5是1小6说麦1全5的世年界产都量要约为
当q =x =1 时，Sn na1 n
S = = 当 q =x? 1 时，
1? (1 x n ) 1- x n
n
1- x
1- x
Sn
=ìïí ïî
n ，x =1
1- x n 1- x
，x ¹
1
在利用公式时，一定要注意q的取值，
把它作为第一要素来考虑！ ——切记切记！！！！
小结
错位相减法 乘公比
②
由－得 (1 q)Sn a1(1a1qqnn)
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn

a1
1 qn 1 q
分类讨论
当q¹
1时，
Sn

a1
1 qn 1 q
当q =1时， {an}是一个常数列
Sn =a1 +a2 +a3 +L +an =a1 +a1 +a1 +L +a1 =na1