等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n=q .(2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab .只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项,且等比中项有两个. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.(2)前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1.3.等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时,a n =a 1q ·q n 可以看成函数y =cq x ,其是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y =cq x 的图象上;对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n =a 1(1-q n )1-q =-a 11-q q n +a 11-q ,若设a =a 11-q ,则S n =-aq n +a (a ≠0,q ≠0,q ≠1).由此可知,数列{S n }的图象是函数y =-aq x +a 图象上一系列孤立的点.对于常数列的等比数列,即q =1时,因为a 1≠0,所以S n =na 1.由此可知,数列{S n }的图象是函数y =a 1x 图象上一系列孤立的点.二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项和. (1)通项公式的推广:a n =a m ·q n-m(n ,m ∈N *).(2)若m +n =p +q ,则a m a n =a p a q ;若2s =p +r ,则a p a r =a 2s ,其中m ,n ,p ,q ,s ,r ∈N *.(3)a k ,a k +m ,a k +2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k ,m ∈N *).(4)若数列{a n },{b n }是两个项数相同的等比数列,则数列{ba n },{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列.(5)若数列{a n }的项数为2n ,则S 偶S 奇=q ;若项数为2n +1,则S 奇-a 1S 偶=q .考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n -1. 由已知得q 4=4q 2,解得q =0(舍去)或q =-2或q =2. 故a n =(-2)n -1或a n =2n -1. (2)若a n=(-2)n -1,则S n =1-(-2)n3.由S m =63,得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n -1,则S n =1-2n1-2=2n -1.由S m =63,得2m =64,解得m =6. 综上,m =6. [题组训练]1.已知等比数列{a n }单调递减,若a 3=1,a 2+a 4=52,则a 1=( )A .2B .4 C.2D .22解析:选B 由题意,设等比数列{a n }的公比为q ,q >0,则a 23=a 2a 4=1,又a 2+a 4=52,且{a n }单调递减,所以a 2=2,a 4=12,则q 2=14,q =12,所以a 1=a 2q=4. 2.(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 2=2,S 6-S 4=6a 4,则a 5=( )A .4B .10C .16D .32解析:选C 设公比为q (q >0),S 6-S 4=a 5+a 6=6a 4,因为a 2=2,所以2q 3+2q 4=12q 2,即q 2+q -6=0,所以q =2,则a 5=2×23=16.3.(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=________. 解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则由S 6≠2S 3,得q ≠1,则⎩⎪⎨⎪⎧S 3=a 1(1-q 3)1-q=74,S 6=a 1(1-q 6)1-q =634,解得⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=14,则a 8=a 1q 7=14×27=32.答案:32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +1=4a n +2(n ∈N *),若b n =a n +1-2a n ,求证:{b n }是等比数列.[证明] 因为a n +2=S n +2-S n +1=4a n +1+2-4a n -2=4a n +1-4a n , 所以b n +1b n =a n +2-2a n +1a n +1-2a n =4a n +1-4a n -2a n +1a n +1-2a n =2a n +1-4a n a n +1-2a n =2.因为S 2=a 1+a 2=4a 1+2,所以a 2=5. 所以b 1=a 2-2a 1=3.所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列.[解题技法]1.掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 中项公式法 通项公式法前n 项和公式法2.等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法,通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列.(2)证明一个数列{a n }不是等比数列,只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3,或者是存在一个正整数m ,使得a 2m +1≠a m ·a m +2即可.[题组训练]1.数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n ,证明:{a n +1-2a n }是等比数列. 证明:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2, 所以a 1=2,由a 1+a 2=2a 2-4得a 2=6.由于S n =2a n -2n ,故S n +1=2a n +1-2n +1,后式减去前式得a n +1=2a n +1-2a n -2n ,即a n+1=2a n +2n,所以a n +2-2a n +1=2a n +1+2n +1-2(2a n +2n )=2(a n +1-2a n ), 又a 2-2a 1=6-2×2=2,所以数列{a n +1-2a n }是首项为2、公比为2的等比数列.2.(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中,a 1=2,点A n (a n ,a n +1)在双曲线y 2-x 2=1上.在数列{b n }中,点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{b n }是等比数列.解:(1)由已知点A n 在y 2-x 2=1上知,a n +1-a n =1. ∴数列{a n }是一个以2为首项,1为公差的等差数列. ∴a n =a 1+(n -1)d =2+n -1=n +1.(2)证明:∵点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,∴T n =-12b n +1.①∴T n -1=-12b n -1+1(n ≥2).②①②两式相减,得b n =-12b n +12b n -1(n ≥2).∴32b n =12b n -1,∴b n =13b n -1. 由①,令n =1,得b 1=-12b 1+1,∴b 1=23.∴数列{b n }是以23为首项,13为公比的等比数列.考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中,a 3,a 15是方程x 2+6x +2=0的根,则a 2a 16a 9的值为( ) A .-2+22B .-2 C.2D .- 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中,a n >0,a 1+a 2+…+a 8=4,a 1a 2…a 8=16,则1a 1+1a 2+…+1a 8的值为( ) A .2 B .4 C .8D .16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 3,a 15是方程x 2+6x +2=0的根,所以a 3·a 15=a 29=2,a 3+a 15=-6,所以a 3<0,a 15<0,则a 9=-2,所以a 2a 16a 9=a 29a 9=a 9=-2,故选B.(2)由分数的性质得到1a 1+1a 2+…+1a 8=a 8+a 1a 8a 1+a 7+a 2a 7a 2+…+a 4+a 5a 4a 5.因为a 8a 1=a 7a 2=a 3a 6=a 4a 5,所以原式=a 1+a 2+…+a 8a 4a 5=4a 4a 5,又a 1a 2…a 8=16=(a 4a 5)4,a n >0,∴a 4a 5=2,∴1a 1+1a 2+…+1a 8=2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14,则S 4n 等于( )A .80B .30C .26D .16[解析] 由题意知公比大于0,由等比数列性质知S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,…仍为等比数列.设S 2n =x ,则2,x -2,14-x 成等比数列. 由(x -2)2=2×(14-x ), 解得x =6或x =-4(舍去).∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,…是首项为2,公比为2的等比数列. 又∵S 3n =14,∴S 4n =14+2×23=30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.[题组训练]1.(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中,a 2a 5a 8=-8,S 3=a 2+3a 1,则a 1=( )A.12 B .-12C .-29D .-19解析:选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1),因为S 3=a 1+a 2+a 3=a 2+3a 1,所以a 3a 1=q 2=2.因为a 2a 5a 8=a 35=-8,所以a 5=-2,即a 1q 4=-2,所以4a 1=-2,所以a 1=-12,故选B.2.已知等比数列{a n }共有2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =________.解析:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80,解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇=-80,S 偶=-160,所以q =S 偶S 奇=-160-80=2.答案:2[课时跟踪检测]A 级1.(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5=16,a 2=2,则公比q =( )A .4 B.52C .2D.12解析:选C 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4=16,a 1q =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,q =-2(舍去),故选C.2.(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为22,则log 2a 7+log 2a 11的值为( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 由题意得a 4a 14=(22)2=8,由等比数列的性质,得a 4a 14=a 7a 11=8,∴log 2a 7+log 2a 11=log 2(a 7a 11)=log 28=3,故选C.3.在等比数列{a n }中,a 2a 3a 4=8,a 7=8,则a 1=( ) A .1 B .±1 C .2D .±2解析:选A 因为数列{a n }是等比数列,所以a 2a 3a 4=a 33=8,所以a 3=2,所以a 7=a 3q 4=2q 4=8,所以q 2=2,则a 1=a 3q2=1,故选A.4.(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=12,a 2a 6=8(a 4-2),则S 2 019=( )A .22 018-12B .1-⎝⎛⎭⎫12 2 018C .22 019-12D .1-⎝⎛⎭⎫12 2 019解析:选A 由等比数列的性质及a 2a 6=8(a 4-2),得a 24=8a 4-16,解得a 4=4.又a 4=12q 3,故q =2,所以S 2 019=12(1-22 019)1-2=22 018-12,故选A.5.在等比数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=21,a 2+a 4+a 6=42,则S 9=( ) A .255 B .256 C .511D .512解析:选C 设等比数列的公比为q ,由等比数列的定义可得a 2+a 4+a 6=a 1q +a 3q +a 5q =q (a 1+a 3+a 5)=q ×21=42,解得q =2.又a 1+a 3+a 5=a 1(1+q 2+q 4)=a 1×21=21,解得a 1=1.所以S 9=a 1(1-q 9)1-q =1×(1-29)1-2=511.故选C.6.已知递增的等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和S n <0,则( ) A .a 1<0,0<q <1 B .a 1<0,q >1 C .a 1>0,0<q <1D .a 1>0,q >1解析:选A ∵S n <0,∴a 1<0,又数列{a n }为递增等比数列,∴a n +1>a n ,且|a n |>|a n +1|, 则-a n >-a n +1>0,则q =-a n +1-a n ∈(0,1),∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }的前7项和为________. 解析:设等比数列{a n }的公比为q (q >0), 由a 5=a 1q 4=16,a 1=1,得16=q 4,解得q =2, 所以S 7=a 1(1-q 7)1-q =1×(1-27)1-2=127.答案:1278.在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. 解析:设该数列的公比为q ,由题意知, 192=3×q 3,q 3=64,所以q =4.所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48. 答案:12,489.(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4=a 5,a 4=8,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析:设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 2a 4=a 5,a 4=8,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3=a 1q 4,a 1q 3=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2,∴S n =1×(1-2n )1-2=2n -1.答案:2n -110.已知等比数列{a n }为递减数列,且a 25=a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:设公比为q ,由a 25=a 10, 得(a 1q 4)2=a 1·q 9,即a 1=q . 又由2(a n +a n +2)=5a n +1, 得2q 2-5q +2=0, 解得q =12()q =2舍去,所以a n =a 1·q n -1=12n .答案:12n11.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1=1,na n +1=2(n +1)a n .设b n =a nn .(1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.解:(1)由条件可得a n +1=2(n +1)n a n .将n =1代入得,a 2=4a 1, 而a 1=1,所以a 2=4.将n =2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2)数列{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a n +1n +1=2a nn,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以数列{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a nn=2n -1,所以a n =n ·2n -1.12.(2019·甘肃诊断)设数列{a n +1}是一个各项均为正数的等比数列,已知a 3=7,a 7=127.(1)求a 5的值;(2)求数列{a n }的前n 项和.解:(1)由题可知a 3+1=8,a 7+1=128, 则有(a 5+1)2=(a 3+1)(a 7+1)=8×128=1 024, 可得a 5+1=32,即a 5=31. (2)设数列{a n +1}的公比为q ,由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3+1=(a 1+1)q 2,a 5+1=(a 1+1)q 4,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+1=2,q =2,所以数列{a n +1}是一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n +1=2×2n -1=2n ,所以a n =2n -1,利用分组求和可得,数列{a n }的前n 项和S n =2(1-2n )1-2-n =2n +1-2-n .B 级1.在各项都为正数的数列{a n }中,首项a 1=2,且点(a 2n ,a 2n -1)在直线x -9y =0上,则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A .3n-1 B.1-(-3)n 2C.1+3n 2D.3n 2+n 2解析:选A 由点(a 2n ,a 2n -1)在直线x -9y =0上,得a 2n -9a 2n -1=0,即(a n +3a n -1)(a n -3a n -1)=0,又数列{a n }各项均为正数,且a 1=2,∴a n +3a n -1>0,∴a n -3a n -1=0,即a na n -1=3,∴数列{a n }是首项a 1=2,公比q =3的等比数列,其前n 项和S n =2(1-3n )1-3=3n -1.2.(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n +1=1+log 2a n (n ∈N *),且a 1+a 2+a 3+…+a 10=1,则log 2(a 101+a 102+…+a 110)=________.解析:因为log 2a n +1=1+log 2a n ,可得log 2a n +1=log 22a n ,所以a n +1=2a n ,所以数列{a n }是以a 1为首项,2为公比的等比数列,又a 1+a 2+…+a 10=1,所以a 101+a 102+…+a 110=(a 1+a 2+…+a 10)×2100=2100,所以log 2(a 101+a 102+…+a 110)=log 22100=100.答案:1003.已知数列{a n }中,a 1=1,a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,记T 2n 为{a n }的前2n 项的和,b n =a 2n +a 2n -1,n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列,并求出b n ;(2)求T 2n .解:(1)∵a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,∴a n +1·a n +2=⎝⎛⎭⎫12n +1,∴a n +2a n =12,即a n +2=12a n . ∵b n =a 2n +a 2n -1,∴b n +1b n =a 2n +2+a 2n +1a 2n +a 2n -1=12a 2n +12a 2n -1a 2n +a 2n -1=12, ∵a 1=1,a 1·a 2=12, ∴a 2=12,∴b 1=a 1+a 2=32. ∴{b n }是首项为32,公比为12的等比数列. ∴b n =32×⎝⎛⎭⎫12n -1=32n . (2)由(1)可知,a n +2=12a n , ∴a 1,a 3,a 5,…是以a 1=1为首项,以12为公比的等比数列;a 2,a 4,a 6,…是以a 2=12为首项,以12为公比的等比数列, ∴T 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12=3-32n .。