第十一章 气体动力学基础
§11.1 声速与马赫数 §11.2 气体一维恒定流动的基本方程 §11.3 气体一维恒定流动的参考状态 §11.4 气流参数与通道截面积的关系 §11.5 喷管 §11.6 等截面有摩擦的绝热管流
§11.1 声速与马赫数
11.1.1 声速 声速：微弱扰动波在介质中的传播速度。 如图，等直径的长直圆管中充满着静止的可压缩流体， 当活塞突然以微小速度dv向右运动时，由活塞运动 引起的微弱扰动将一层一层的向右传播，在圆管内 形成两个区域：未受扰动区和受扰动区，两区之间 的分界面称为扰动的波面，波面向右传播的速度c即
马赫锥的半顶角，称为马赫角，用α表示。则
sin c 1
v Ma
例11-1 飞机在温度为20℃的静止空气中飞行，测得飞机飞行 的马赫角为40.34º，空气的气体常数R=287J/（kg·K），等熵 指数k=1.4，试求飞机的飞行速度。 解： Ma 1 1 1.54
sin sin40.34
T + dT
T
p + dp ρ+dρ c-dv T + dT
p
c
ρ
T
(a)
(b)
由连续性方程可得
cA dc dvA
忽略二阶微量，经整理得
由动量方程得
dv c d
pA p dpA cAc dv c
整理后可得 故
dv 1 dp
c
c dp
d
微弱扰动波的传播过程可视为绝热可逆的等熵过程。
设流场中o点处有一固定的扰动源，每隔1s发出 一次微弱扰动，现在分析前4s产生的微弱扰动波在 各流场中的传播情况。
v=0
2c 3c 4c c o
4c
3c
v <c
2c
c
o
(a)
v=c o
4c 3c 2c c
v 2v
3v 4v
(c)
v
2v
3v
A
4v
(b)
4c3cv>c2ccoα
v
2v
3v
4v
B
(d)
（1）静止流场（v＝0） 由于气流速度v＝0，微弱扰动波不受气流的影响， 以声速c向四周传播，形成以o点为中心的同心球面 波。 （2）亚声速流场（v＜c） 由于气体以速度v运动，微弱扰动波在以声速c向四 周传播的同时，随气流一同以速度v向右运动，因此， 微弱扰动波向下游传播的速度为c+v，向上游传播的 速度为c-v，因v＜c，所以微弱扰动波仍能逆流向上 游传播。
dp
v2 2
C
通常气体的密度是压强和温度的函数，为积分上式，
需要补充热力过程方程和气体状态方程。
（1）定容过程（比容v＝C ）
p v2 C 2
（2）等温过程（温度T＝C ）
气体状态方程得 p ，故等温过程能量方程
RT
p lnp v2 C 或 RTlnp v2 C
2
2
（3）等熵过程
或
c2 v2 C
k 1 2
或
1 p p v2 C
k 1 2
例11-2 空气在管道内作恒定等熵流动，已知进口状态参数：
t1=62℃，p1=650kPa，A1=0.001m2；出口状态参数：
p2=452kPa，A2=5.12×10-4m2。试求空气的质量流量Qm。
解：由气体状态方程，得
1
p1 RT1
650 103
287 273 62
6.76kg / m3
由等熵过程方程，得
2
1
p2 p1
1
k
6.76
452 103 650 103
1 1.4
5.21kg
/
m3
由连续性方程，得
v1
2A2v2 1A1
5.21 5.12104 6.76 1103
v2
0.395v2
由等熵过程能量方程，得
绝热过程：与外界没有热交换的热力过程。 等熵过程：可逆的绝热过程或理想气体的绝热过程。
等熵过程方程：
p k
， C将
代p1 入kC-积1 k 分式
dp
得
dp C1 k
dp p1 k
kp
k 1
将上式代入能量方程式，得等熵过程能量方程
k p v2 C k 1 2
或
kRT v2 C k 1 2
为声速。
将参考坐标系固定在扰动波面上，取包围扰动波面 的虚线为控制面。波前的流体始终以速度c流向控 制体，其压强、密度和温度分别为p、ρ、T，波后 的流体始终以速度（c-dv）流出控制体，其压强、 密度和温度分别为p+dp、ρ+dρ、T+dT。
微弱扰动波面
微弱扰动波面
p + dp
p
dv ρ+dρ
c ρ v=0
（3）声速流场（v＝c） 由于微弱扰动波向四周传播的速度c恰好等于气流速 度v，扰动波面是与扰动源相切的一系列球面，所以， 无论时间怎么延续，扰动波都不可能逆流向上游传 播。 （4）超声速流场（v＞c） 由于v＞c，所以扰动波不仅不能逆流向上游传播，反 而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自o点 出发的圆锥面内的一系列内切球面，这个圆锥面称 为马赫锥。
c kRT 1.4 287 273 20 343.11m/ s
v Ma c 1.54343.11 528.39m/ s
dvA vdA vAd Adv 0
§11.2 气体一维恒定流动的基本方程
1. 连续性方程
由质量守恒定律 vA C
写成微分形式，得
dvA vdA vAd Adv 0
等熵过程方程为
p k
C
dp Ckk-1 k p
d
将完全气体状态方程 p ， R代T 入上式得
c kp
或
c kRT
11.1.2 马赫数 气体流速v与当地声速c之比，称为马赫数Ma，即
Ma v c
根据马赫数的大小，可将气体的流动分为： 1、Ma＜1，即v＜c，亚声速流动； 2、Ma＝1，即v＝c，声速流动； 3、Ma＞1，即v＞c，超声速流动。
解得
k p1 v12 k p2 v22 k 1 1 2 k 1 2 2
v2 279.19m / s
质量流量 Qm 2A2v2 5.215.12104 279.19 0.74kg / s
§11.3 气体一维恒定流动的参考状态
1.滞止状态 若气流速度按等熵过程滞止为零，则Ma＝0，此时 的状态称为滞止状态，相应的参数称为滞止参数， 用下标0标识。
或
d dv dA 0
vA
2. 运动微分方程
引用第三章式（3-24）：dW
1
dp
d
u2 2
0
由于气体的密度很小，可忽略质量力的影响，取力 势函数W＝0。同时，由气流平均流速v代替点流速u， 则上式可简化为
dp
d
v2 2
0
或
dp
vdv
0
3. 能量方程
对上式积分，即得理想气体恒定流动的能量方程