初中数学二次函数知识点总结及典型例题
知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法--------五点作图法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【例1】、已知函数y=x 2
-2x-3，
（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图；
（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：
（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
（2）两根当抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与x轴有交点时，即对应的一元二次方程0
2=
+
+c
bx
ax有实根
1
x和2
x存在时，根据二次三项式的分解因式)
)(
(
2
1
2x
x
x
x
a
c
bx
ax-
-
=
+
+，二次函数c
bx
ax
y+
+
=2可转化为两根式)
)(
(
2
1
x
x
x
x
a
y-
-
=。

如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点顶点式：)0
,
,
(
)
(2≠
+
-
=a
k
h
a
k
h
x
a
y是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。

【例1】、抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】、如图，抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （＞或＜或=）
（2）a的取值范围是
【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A．y = (x− 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1 C．y = (x− 2)2− 3 D．y = (x + 2)2−3
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
a
b
x
2
-
=时，a
b
ac
y
4
42
-
=
最值。

如果自变量的取值范围是
2
1
x
x
x≤
≤，那么，首先要看
a
b
2
-是否在自变量取值范围
2
1
x
x
x≤
≤内，若在此范围内，
则当x=
a
b
2
-时，
a
b
ac
y
4
42
-
=
最值
；若不在此范围内，则需要考虑函数在
2
1
x
x
x≤
≤范围内的增减性，如果在此
范围内，y随x的增大而增大，则当
2
x
x=时，c
bx
ax
y+
+
=
2
2
2
最大
，当
1
x
x=时，c
bx
ax
y+
+
=
1
2
1
最小
；如果
在此范围内，y随x的增大而减小，则当
1
x
x=时，c
bx
ax
y+
+
=
1
2
1
最大
，当
2
x
x=时，c
bx
ax
y+
+
=
2
2
2
最小。

【例1】、已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,
下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1,有最大值0
y
1
3
C．有最小值－1,有最大值3 D．有最小值－1,无最大值
【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每
天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a <0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

【例1】、抛物线y=x 2
-2x -3的顶点坐标是 .
【例2】、二次函数522
-+=x x y 有( )A ． 最大值5- B ． 最小值5-C ． 最大值6-
D ． 最小值
6-
【例3】、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3-=x
C ．其最小值为1
D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大
【例4】、已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.4<k
B.4≤k
C.4<k 且3≠k
D.4≤k 且3≠k
【例5】、下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）．。