" "1 , 2 , , m 中若有一向量，不妨设 m
能由其余m-1个向量线性表示， 则 m 11 2 2 m 1 m 1 , 即 11 2 2 m 1 m 1 (1) m 0, 所以 1 , 2 , , m 线性相关。
5注:Biblioteka 1.单个向量 （1） 0, 只有k取0时才成立 k 0, 所以，单个向量 线性无关. （2） 0, k取任何值都成立 k 0, 所以，单个向量 线性相关.
1 (1, 0, , 0) (0,1, , 0) 2 2. n维单位坐标向量组 线性无关. 6 n (0, 0, ,1) 任一n维向量 (a1 , a2 , , an ) 可以由 1 , 2 , , n 线性表示， a1 1 a2 2 an n . 事实上，
15
小结
１. 线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用； ３. 线性相关与线性无关的判定方法. 4.两个向量组的等价关系
16
作业
P108 1（1）(2)，3（1）(2)，4, 6
17
（1）反身性
（2）对称性
（3）传递性
13
若记 A ( 1 , 2 ,, s ), B ( 1 , 2 ,, t ) 即对每个向量 j ( j 1, 2,, t ), B能由A线性表示， 存在数 k1 j , k2 j ,, ksj , 使得 k1 j
§3.2 向量组的线性相关性与两 个向量组之间的关系
1
定义1
一、向量组的线性相关性 对于n维向量 1 , 2 ,, m , ,
如果存在一组数
k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm
称 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个线性组合，
A : 1 , 2 ,, m 线性相关 x11 x22 xmm 0 即 Ax 0 有非零解
定理2
1 , 2 , , m 线性无关, 1 , 2 ,, m， 线性相关. 能由 1 , 2 , , m 线性表示，且表示法唯一.
8
定理3
若一个向量组中有一部分向量组线性相关
整个向量组线性相关。
推论1
推论2
任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
如果一个向量组线性无关

它的任何一个部分向量组必线性无关。
例1
(0,1, 2, 3)T , 1 (2, 2, 3,1)T , 2 ( 1, 2,1, 2)T , 3 (2,1, 1, 2)T
6
3. x 2 y 3 z 1
2 x y z 2 4 x 5 y 7 z 4
通过方程组的初等变换，第三个方程的所有系数和常数项全 化为0，所以这个方程在方程组中是多余的，在解方程时， 可以去掉它。 线性方程组有无多余方程相当于方程组对应的向量组中 有无向量能由其余向量线性表示。 4.
其中 ki , i 1, 2,, m 不全为0。
k3 km k2 m , 不妨设 k1 0 ，则 1 2 3 k1 k1 k1 即 1 是向量组 2 , 3 , , m 的线性组合，
也即1 , 2 , , m 中必有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。
即 x （ x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, 1 1 2）
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, x1 x 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 2 0, x x 0. 1 0 1 2 3
或者 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示。
即线性方程组 x11 x22 xmm 有解。
定义2
给定向量组 A : 1 , 2 ,, m ,
如果存在不全为零的数 k1 , k2 ,, km ,
使 k11 k22 kmm 0
1 1 0 2 0, 所以方程组只有零解 x1 x2 x3 0, 0 1 1 即 b1 , b2 , b3 线性无关。 11
P86 定理2 Ax b有解 R( A) R( A, b)
A : 1 , 2 ,, m
向量 b 能由向量组 A 线性表示
R(1，2， , m ) R(1，2， ,m , b)
则称向量组A是线性相关的； 否则称向量组A是线性无关的。
即当且仅当
k1 k2 km 0 时， k11 k2 2 km m 0 才成立.
3
定理1
1 , 2 , , m 线性相关

向量组中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示.
4
" "若 k11 k2 2 km m 0
这一线性表示的系数矩阵
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P88 定理4 定理4
AX B 有解 R( A) R( A, B)
A : 1 ,2 ,, s B : 1 , 2 ,, t
向量组B 能由向量组A 线性表示
R(A) R(A,B)
推论
A : 1 ,2 ,, s 与 B : 1 , 2 ,, t 等价 R(A) R(B) R(A, B)
j k1 j1 k2 j2 ksjs
k2 j （1 , 2 , , s ) , k sj
k11 k12 k1t k k k 2t 21 22 （ , , , ) 则 （ 1 , 2 ,, t ) 1 2 s k s1 k s 2 k st
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定义3
二、两个向量组间的关系 设有两个向量组 ( I ) : 1 , 2 ,, m ( II ) : 1 , 2 ,, s
若组（I ) 中的每个向量都能由组（II ) 线性表示， 则称向量组（I )可由向量组（II )线性表示; 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向 量组等价。 等价关系的性质：
问 是否可由
1 ,2 ,3 线性表示？
无解。
例2
已知向量组 1 ,2 ,3 线性无关，
b1 1 2 , b2 2 3 , b 3 3 1 ,
试证：b1 , b2 , b3 线性无关。 证明： 设有 x1 , x2 , x3 使 x1b1 x2 b2 x3 b 3 0,