常微分方程复习题一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：12．形如_ 的方程称为齐次方程.答： )(xy g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ．答：cos 2,sin 2x x .1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．答：xx x e ,e3. 若()t ϕ和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ϕ和()t ψ具有的关系是 。

4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。

5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。

有只含y 的积分因子的充要条件是 。

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。

7. 称为n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m Px 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。

9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。

9. 微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为 。

10. 若()(0,1,2,,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 .11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2,,)i x t i n =是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .12. 若()(0,1,2,,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。

答：1()0w a x w '+=13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解.14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ．16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。

17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。

19. 设*X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 .20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(),,()n X t X t X t 线性无关的充要条件是 .21. 若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n v v v ，它们对应的特征值分别是12,,,n λλλ，那么矩阵()t ψ= 是常系数线性方程组X AX '=的一个基解矩阵。

二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n ； （B ）n -1； （C ）n +1； （D ）n +2.2．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解； （B ）是非齐次微分方程组的解；（C ）是其对应齐次微分方程组的解； （D ）是非齐次微分方程组的通解.3．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ-； （B ）)()(21x x ϕϕ+；（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-； （D ）)()(21x x C ϕϕ+.4．下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2210x x -+= ； (B) 2y xy '= ； (C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂； (D) 2 y x c =+(c 为常数）. 5. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)22y x y '=+ ； (B)2x y y e '+= ； (C)20y x '+=； (D)2y y xy '-=.6. 方程2232x y y y x e -'''++=特解的形状为( )(A)221x y ax ey -=； (B)221()x y ax bx c e -=++；(C)2221()x y x ax bx c e -=++； (D)2221()x y x ax bx c e -=++.7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)4,x ； (B)2,2,x x x ； (C)225,cos ,sin x x ； (D)21,2,,x x .8. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)20t dt xdx +=； (B)sin 1x =；(C) 1 y x c =++(c 为常数)； (D)22220u u x y∂∂+=∂∂. 9. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)21y y '=+； (B)11dy dx xy=+； (C)2y by cx '+=； (D)40y xy '+=. 10. 方程22(cos 2sin )x y y y e x x x '''-+=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++；(B) y e Ax x C x x 1=+[cos sin ]；(C)y e Ax B x Cx D x x 1=+++[()cos ()sin ] ；(D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ].11. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)31, ,x x ; (B)222,,x x x ； (C)21,sin ,cos2x x ； (D)225,sin (1),cos (1)x x ++.12. 下列方程中为常微分方程的是（ ） (A)2210x y +-=； (B)2x y y '=； (C)222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂； (D)2 x y c +=(c 为常数). 13. 下列微分方程是线性的是（ ） (A)dy dx y x=； (B)261y y ''+=； (C)3sin y y x '=+； (D) 2cos y y y x '+=. 14. 方程2sin y y x ''+=特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y +=； (B) y Ax x 1=sin ；(C)y Bx x 1=cos ； (D)y Ax x x 12=+(cos sin ).15. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2220x y z +-=； (B)y ce x =； (C) 22u u t x ∂∂=∂∂； (D) y=c 1cos t +c 2sin t (c 1, c 2为常数).16. 下列微分方程是线性的是（ ）(A) ()()x t x f t '-=； (B)3cos y y x '+=；(C) 2x y y '''+=； (D)413y y y '+=. 17. 方程23cos x y y y e x -'''-+=特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin ； (B) y Aex 1=-； (C)y e A x B x x 1=+-(cos sin )； (D)y Axe x x 1=-cos .18. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 23,,t t t e e e ； (B) 20,,t t ；(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，； (D) 4-t , 2t -3, 6t +8. 19. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 3+1=0； (B)y ce x=； (C)2220u u a t x ∂∂-=∂∂； (D) 2x y y e '''+=. 20. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)221y y x ''+=+； (B)2cos y y x '+=； (C) 222y y x '-=； (D) xdx+ydy =0.21. 方程36916x y y y e '''-+=-特解的形状为( )(A) 31x y Ae =； (B)y Ax e x 123=；(C) y Axe x 13=； (D)y e A x B x x 1333=+(sin cos ).22. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)2,,x x x e xe x e ； (B)222,cos , cos x x ； (C)21,2,x ； (D)5420,,x x e x e x .23. 微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是 ( )(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x24. 微分方程230y y y '''--=的通解是y =( )(A)33x x ++； (B) c x c x123+； (C) c e c e x x 123+-； (D) c e c e x x 123-+. 25. 设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程()()()y a x y b x y f x '''++=的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223 ( )(A) 是所给微分方程的通解；(B) 不是所给微分方程的通解；(C) 是所给微分方程的特解；(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.26. 微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（ ） (A) cos2a x ； (B) cos2ax x ；(C)sin 2cos2a x b x +； (D)sin 2cos2ax x bx x +.27. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)42310x x x +-+=； (B) 2"'y y x +=； (C) 222222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂； (D)2u v w =+. 28. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)2y xy y x '''++=； (B)22y x y '=+; (C)2()y xy f x ''-=； (D)3y y y '''-=.29.设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的通解为( )(A)11223c y c y y ++; (B)1122123(1)c y c y c c y ++--;(C)1122123()c y c y c c y +-+; (D)1122123(1)c y c y c c y +---.30. 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ） (A)ln 2x e ; (B)2ln 2x e ; (C)ln 2x e + (D)2ln 2x e +.31. 若3312,x x y e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）(A)690y y y '''++=; (B)90y y ''-=;(C)90y y ''+=; (D)690y y y '''-+=.32. 设123,,y y y 是二阶线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（ ） (A)11223c y c y y ++ ; (B)1122231()()c y y c y y y -+-+;(C)11232c y c y y ++; (D)112223()()c y y c y y -+-.33. 设12,y y 是方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程的通解; (B)是此方程的特解;(C)不一定是该方程的解; (D)是该方程的解.34. 微分方程1x y y e '''-=+的一个特解形式为（ ）(A)x ae b +; (B)x axe bx +; (C)x ae bx +; (D)x axe b +.35. 方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分方程的充要条件是（ B ）(A)4,2p q ==; (B)4,2p q ==-;(C)4,2p q =-=; (D)4,2p q =-=-.36. 表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ）(A)2,2a b ==; (B)3,2a b ==; (C)2,3a b ==; (D)3,3a b ==.37. 方程x y y y y xe-''''''+++=是特解*y 的形式为（ ） (A)()x ax b e-+; (B)()x x ax b e -+; (C)2()x x ax b e -+; (D)[()cos 2()sin 2]x e ax b x cx d x +++.38. 方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 的形式为（ ）(A) x axe ; (B)()x ax b e +; (C)()x x ax b e +; (D)2()xx ax b e +. 39. 已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程20y w y ''+=的解,则1122y c y c y =+是（ ）(A)方程的通解; (B)方程的解, 但不为通解; (C)方程的特解; (D)不一定是方程的解.40. 方程3232x y y y x e '''-+=-的特解*y 的形式为（ ）(A) ()x ax b e +； (B)()x ax b xe +; (C)()x ax b ce ++; (D)()x ax b cxe ++.41. 方程2232x y y y x e-'''++=特解的形式为（ ） (A) 22x y ax e-=; (B)22()x y ax bx c e -=++; (C)22()x y x ax bx c e-=++; (D)222()x y x ax bx c e -=++. 42. 方程2613(512)t x x x e t t '''++=-+特解形状为（ ）(A)21()t x At Bt c e =++; (B)1()t x At B e =+;（C)1t x Ate =; (D)1t x Ae =.43. 方程22cos x y y y e x -'''-+=的特解形状为（ ）(A)1cos x y A xe -=; (B)1sin x y A xe -=;(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+; (D)1x y Ae -=.44. 方程22cos tx x x te t '''-+=的特解形状为（ ）(A)21()cos t x At Bt c e t =++; (B)21()sin t x At Bt c e t =++;(C)1(cos sin )t x e A t B t =+; (D)221()cos ()sin t t x At Bt c e t Dt Et F e t =++++. 45. 方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ） (A)21()x x μ=; (B)1()x xμ=; (C)41()y y μ=; (D)21()y y μ=. 46. 方程(2)0y y e x xy e dy -+=的积分因子为（ ） (A)21()x x μ=; (B) 1()x xμ=; (C)21()y y μ=; (D) 1()y y μ=. 47. 方程2(3)20x e y dx xydy ++=的积分因子为（ ） (A) 1()x xμ=; (B)2()x x μ=; (C) 1()y y μ=; (D) 2()y y μ=. 48. 方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ）(A)()x x e μ=; (B)()x x eμ-=; (C)()y y e μ=; (D)()y y e μ-=. 49. 方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=; (B)21()1x x μ=+; (C) 1()y y μ=; (D)21()1y y μ=+. 50. 方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=; (B) 21()x xμ=; (C) 1()y y μ=; (D) 21()y y μ=. 51. 方程(2cos )0xx e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）(A)()sin x x μ=; (B)()cos x x μ=; (C)()sin y y μ=; (D)()cos y y μ=.52. 方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ） (A)21()x xμ=; (B)21()y y μ=; (C)221(,)x y x y μ=+; (D)1(,)x y x y μ=+. 53. 方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ） (A) 21x μ=; (B)1xy μ=; (C)221x y μ=; (D)21x y μ=. 54. 方程440y y y '''++=的一个基本解组是( ).(A) x e x 2,-; (B)x e 2,1-; (C)x e x 22,-; (D)x x xe e 22,--.55. 方程23x y x y e '=-是( ) .(A)可分离变量方程; (B)齐次方程; (C)全微分方程; (D)线性非齐次方程.三、证明题1. 在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．证明： 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式⎰=-x 0d )(0e )()(x ss p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分） )(e )()(x 0d )(0x p x W x W x s s p ⎰='-由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有0)(>'x W 或 0)(<'x W故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分）2．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．证明: 如果)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y的解，那么由刘维尔公式有⎰=-x 0d )(0e)()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有C x W x W x W x t ==⎰=-)(e )()(0d 00x 03．设n n ⨯矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在区间I 上连续，试证明，若方程组X t A dt dX )(1=与X x A dtdX )(2=在区间I 上有相同的基本解组，则12()()A t A t =，x I ∈. 证明：因为方程组与X x A dtdX )(2=在区间I 上有相同的基本解组，所以可设)(t Φ是其基本解矩阵。