报童模型下的批发价契约
1 基本模型
1.1 前提
在该模型下存在单个供货商和单个零售商，零售商面临着报童模型问题：零售商必须在有随机需求的单个销售季节来临之前选择一个订购数量。

假设双方都是风险中性，即双方都以最大化己方的利润为目标。

并且双方都知道所有成本、参数及规则 。

该模型发生在两种遵从机制下：自愿遵从机制和被迫遵从机制。

假设市场需求为D （0>D ），期望需求用μ表示，即][D E =μ，需求分布函数和概率密度函数分别为)(x F 、)(x f 。

)(x F 为严格的单调递增函数，有0)0(=F ，)(1)(x F x F -=。

假设市场零售价格为p ，供货商产品的成本价和零售商的边际成本分别为s c 和r c ，其中零售商的边际成本发生在零售商购买商品的过程中。

令r g 为零售商单位缺货损失成本，s g 为由于零售商单位缺货而导致供应商的惩罚成本，其中r s g g g +=为供应链上单位缺货的总惩罚成本。

在销售季节末，零售商可以获得未售出的商品的每单位残值为v ，其中c v <。

1.2 事件发生顺序
首先，供应商向零售商提供一个合约，零售商可以选择接受或者拒绝，假设零售商接受合约，零售商向供应商提交一个数量为q 的订单，接着供应商在销售季来临之前生产并向零售商转交产品。

随后需求发生，最终转移支付按照两方公司的订立的合约进行转移。

如果零售商拒绝合约，本次合约结束。

1.3 利润函数
设零售商的订购数量为q ，零售商订购数量为q 时的期望利润用)(q r π表示，期望销售用)(q S 表示，期望剩余库存用)(q I 表示，期望销售损失用)(q L 表示。

则期望销售)(q S 为订购量与市场需求的极小值，即)],[min()(D q E q S =，当q D >时的数学期望为))(1()(x F q dx x f q q -⋅=⋅⎰∞
，q D <时的数学期望为⎰⋅q
dx x f x 0)(，即：
⎰⎰-=⋅+-⋅==q q
dy y F q dx x f x x F q D q E q S 00)()())(1()],[min()(
期望剩余库存)(q I 为订购量q 超过市场需求D 的部分，即+
-=)()(D q q I ，则： )
()()()()()()(00q S q dx x f x q F q dx x f x q D q q I q q
-=⋅-⋅=⋅-=-=⎰⎰+
期望销售损失)(q L 为市场需求D 超过订购量q 的部分，即+
-=)()(q D q L ，则： )
())(1()()()()()(0q S q F q dx x f x dx x f q x q D q L q
q -=-⋅-⋅-=⋅-=-=⎰⎰∞
+μμ 零售商的期望利润)(q r π为：
T
g q v c q S g v p T q c q L g q I v q S p q r r r r r r -⋅-⋅--⋅+-=-⋅-⋅-⋅+⋅=μπ)()()()()()()( 供货商的利润函数：
T g q c q S g T q L g q c q s s s s s s +⋅-⋅-⋅=+⋅-⋅-=μπ)()()(
供应链的利润函数：
为简便计算，令s r c c c +=，s r g g g +=，则
)()()()()()()(s r s r s r s r g g q v c c q S g g v p q q q +⋅-⋅-+-⋅++-=+=∏μππ μ⋅-⋅--⋅+-=g q v c q S g v p )()()( (2.1)
o q 为供应链上的最优订购量，)(m ax arg q q o ∏=。

假设0)(>∏o q ，因为)(x F 是严格的增函数，)(q ∏为凹函数，最优订货量有唯一解。

o q 满足
g
v p v c q F q S o o +--==')()(。

(2.2) *r q 为零售商的最优订购量，)(m ax arg *q q r r π=。

分销商的订购量依赖于转移支付。

2.1 批发价格契约
在批发价契约下，零售商向供货商支付每单位w 的批发价格，其中发生的转移支付为：q w w q T w ⋅=),(。

则零售商的期望利润)(q r π为：
μ
π⋅-⋅-+-⋅+-=⋅-⋅-⋅-⋅+⋅=r r r r r r g q v c w q S g v p q w q c q L g q I v q S p w q )()()()()()(),( 考虑零售商R 的订购决策，令*
r q 为零售商期望利润最大化时的订购量，即
)),(m ax (arg *w q q r r π=，且),(w q r π为严格的凹函数，则有： q v c w q S g v p q w q r r r ⋅-+-'⋅+-=∂∂)()()(),(π
(2.3) 0)()(])()([),(22<⋅+--=''⋅+-=∂∂q f g v p q S g v p q w q r r r π
因此，零售商唯一的最优订购量*
r q 满足
0)()()(*=-+-'⋅+-v c w q S g v p r r r 即可得到：
r r r g v p v
c w q S +--+=')(*
因为)(q S '是减函数，若想0*q q r =，只有：)(S )(o *q q S r '='
即： g v p v c g v p v c w r r +--=+--+
解得此时的批发价为：
)()(v c v c g v p g v p w r r ---+-+-=
由上我们虽然得到批发价契约可以满足供应链协调的条件，但是我们还需考虑这种方案是
否可行，我们可以通过对批发价与成本价的比较得出相应的结论：
0)(1)()()(≤-⋅-+-+-=----⋅+-+-=-v c g
v p g v p c v c v c g v p g v p c w r s r r s ，s c w ≤， 显而易见，批发价格小于供货商的生产成本。

结论：由于s c w ≤，则批发价契约可协调当且仅当供应商获得非正利润时，即该契约不能在资源遵从机制下达到协调。

尽管批发价格契约不能协调供应链，但是仍然值得我们研究，因为在实践中批发价格
契约是最常见的。

例如，批发价格契约对于参与者而言是最简单的。

这所导致的结果就是如果应用了能够协调的供应链契约所带来的额外的一些负担超过了供应链潜在的增加的利润，那么供应商更愿意选择不能达成协调的批发价格契约。

可以得出，分销商的最优订货数量满足：
r
r r g v p v c w q F +--+-=1)(* 因为F 是严格的增函数，并且批发价格w 和零售商的最优订货量*r q 之间是一一对应的，
因此，我们以)(q w 作为能够使零售商订货量为*
r q 的批发价格，那么： )()()()(v c q F g v p q w r r --⋅+-=
那么此时的供应商的利润为：
μπ⋅-⋅-+⋅=s s s s g q c q w q S g q w q ))(()())(,( (2.4)
显而易见，自愿遵从机制与批发价契约无关，对于任何一个确定的不小于s c 的批发价格，其利润是q 的非递减函数，所以供应商将愿意生产分销商订购的所有数量产品，而且是越多越好。

供应商的边际利润为：
)()()(1)()()()()())(,(v c q F q qf g v p g q F g v p q q w c q w q S g q
q w q r s r s s s --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+⋅⋅+-=⋅'+-+'⋅=∂∂π
根据式（2），分销商的边际利润为： 0)()()())(,(>⋅⋅+-=⋅'-=∂∂q q f g v p q q w q q w q r r π 且0)()())(,())(,('>-+⋅=∂∂+∂∂s s r s c q w q s g q
q w q q q w q ππ 结论：在批发价格契约下，零售商的利润是关于q 的增函数。

供货商可以通过降低零售商的批发价格来提高分销商的利润。

只要零售商的利润低于供应链的最优利润，那么
],[*o s q q q ∈的范围内，零售商的最低盈利要求实际上增加了供应链的总利润，零售商的利润同样也是q 的增函数。