随机模型
问 题
报童模型
报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c
售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
每天购进多少份使收入最大？ 购进太多卖不完退回赔钱 购进太少不够销售赚钱少 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 每天收入是随机的
分 析
存在一个合 适的购进量
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
0 n
n
结果解释
n
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
n
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n

2
取n使
P a b 1 P2 bc
p(r)
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
0 n
P2 r
n dG (a b)np(n) 0 (b c) p(r )dr (a b)np(n) dn
n (a b) p(r )dr (b c) 0 p(r )dr (a b) n p(r )dr
n

dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
• 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
rn
售出r , 退回n r
赚(a b)r, 赔(b c)(n r )
r n
n r 0
售出n, 赚(a b)n
r n 1
G(n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
求n使G(n)最大
(a b)nf (r )

求 解
将r视为连续变量
n
f (r ) p(r ) (概率密度）

G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
(a b) n , (b c) n