B
C
D
A
B
L
C
D
中考数学路径最短问题专题训练
一、具体内容包括：
蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；
线段（之和）最短问题；
二、原理：
两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）
三、例题：
例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A
沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，
它要沿着木块侧面爬到点D
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在
河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中
找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

四、练习题（巩固提高）
（一）1
、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A
处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度
忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到B处吃到食物，圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

李庄
第2题
A
B
B 第1题第3题
图(2)
E
B D
A
C P
图(3)
D
B A
O C P 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。

第4题 第5题 第6题 第7题
5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____ ___。

7、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上，AD = 2CD ，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。

9、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8，△ABE 的周长为14，则AB 的长 。

11、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 12、在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．
C
D
A
B
E F
P
第11题 第14题 第15题 13、△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于 F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于 ．
14、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则PE+PF 的最小值为___________.
15、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设
⌒ ⌒ ⌒
一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？ 16、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
（三）16、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

试画出图形，并说明理由。

18、几何模型：
条件：如图，A 、B 是直线L 同旁的两个定点．问题：在直线L 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；
（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
19、问题探究 （1）如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；
（2）如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；
问题解决（3）如图③，若四边形ABCD 是矩形， 10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；
O A
B P R Q 图3 A B E
C B D
图1
O A
B C
图2
P A B A '
P l
A D
B
C
A
D
B C
E P
A
C
D
B
20.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结0A ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。

，得到线段OB. （1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）
21、如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点(03)C -，
． （1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ． 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，
若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 已知：直线112y x =
+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．
D
O x
y
B E
P A C
y
x
O D
E
A B
C。