13.4课题学习最短路径问题
知识点：
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
同步练习：
1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，
B
A
l
3..在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
参考答案： 1.
2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．
为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下：
证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称，
所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线．
因为点C 与C ′在直线l 上，
所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′.
在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′，
所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′，
所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B .
3. 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；
(2)连接AB ′交直线l 于点M .
(3)则点M 即为所求的点．
4.解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，
则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12
AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．
(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．
5.解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置．
6.解：如图b.
(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
7.解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B ＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。