4．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点， M 为线段 AB 的中点 ． 下列说法中正确的有
（）
A．以线段 AB 为直径的圆与直线 x B． | AB |的最小值为 4
3
一定相离
2
C． | AB |的最小值为 2
D．以线段 BM 为直径的圆与 y 轴一定相切
【答案】 AB
答案： B．
10．集合 A { a1, a 2 , , an} ，任取 1 i j k n, ai a j A, a j ak A, ak ai A 这三个式子中至
少有一个成立，则 n 的最大值为（
A． 6
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2016 年清华大学自主招生暨领军计划试题
1．已知函数 f ( x) ( x2 a)ex 有最小值，则函数 g( x) x2 2 x a 的零点个数为（
）
A． 0
B
．1
C
．2
D
【答案】 C
【解析】 注意 f / (x) ex g ( x) ，答案 C．
．取决于 a 的值
2． 已知 ABC 的三个内角 A, B,C 所对的边为 a, b, c ． 下列条件中，能使得 ABC 的形状唯一确定的有
2 ，最小值为 4．也可将 | AB | 转化为 AB 中点到准线的距离的
2 倍去得到最小值；
对于选项 D，显然 BD 中点的横坐标与 1 | BM | 不一定相等，因此命题错误 ． 2
x2 5．已知 F1 , F2 是椭圆 C : a 2
y2 b2 1(a b 0) 的左、右焦点， P 是椭圆 C 上一点 ．下列说法中正确的有
,B C
时，不等式成立，但 ABC 不是锐角三角形 ．
2
4
9．已知 x, y, z 为正整数，且 x
y
z ，那么方程 1
1
1
1
的解的组数为（
）
xyz2
A． 8
【答案】 B
B． 10
C． 11
D． 12
1 111 3
【解析】 由于
，故 3 x 6．
2xyzx
若 x 3，则 ( y 6)( z 6) 36 ，可得 ( y, z) (7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12) ；
交于点 M ，直线 PB 与直线 OC 相交于点 N ． 以下说法正确的有（
）
A． O, M , B, P 四点共圆
B． A, M , B, N 四点共圆
C． A, O, P, N 四点共圆
D．以上三个说法均不对
【答案】 AC
【解析】 对于选项 A， OBM OAM OPM 即得；对于选项 B，若命题成立，则 MN 为直径，必然
【解析】 对于选项 A，点 M 到准线 x
1 的距离为
1 (| AF |
| BF |)
1 | AB | ，于是以线段 AB 为直径
2
2
的圆与直线 x 1 一定相切， 进而与直线 x
3
一定相离； 对于选项
2
B，C，设
A( 4a 2 , 4a )
，则
B(
1 4a2
,
1 )，
a
于是 | AB | 4a2
1 4a2
丙：甲、丁中有且只有一个获奖；
丁：乙说得对 ．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】 BD
【解析】 乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：
BD．
7．已知 AB 为圆 O 的一条弦（非直径） ， OC AB 于 C ， P 为圆 O 上任意一点，直线 PA 与直线 OC 相
若 x 4 ，则 ( y 4)( z 4) 16 ，可得 ( y, z) (5,20), (6,12),(8,8) ；
若 x 5 ，则 3
1
1
2 ,y
20 , y 5,6 ，进而解得 ( x, y, z)
(5,5,10) ；
10 y z y
3
若 x 6 ，则 ( y 3)( z 3) 9 ，可得 ( y, z) (6,6)) ．
（）
A． a 2b 时，满足 F1PF2 900 的点 P 有两个
B． a 2b 时，满足 F1PF2 900 的点 P 有四个
C． PF1F2的周长小于 4a
a2 D． PF1F2的面积小于等于
2
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【答案】 ABCD．
【解析】 对于选项 A，B，椭圆中使得 F1PF2 最大的点 P 位于短轴的两个端点；对于选项 C， F1PF2的周
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WORD 格式 sin B sin C sin B sin( B ) sin B cosB 1 ， 2
类似地，有 sin C sin A 1, sin B sin A 1，于是 sin A sin B sin C cos A cosB cosC ．
不充分性：当 A
1 长为 2a 2c 4a ；选项 D， F1PF2 的面积为 | PF1 | | PF2 | sin F1PF2
2
2
1 | PF1 | | PF2 |
2
2
1 a2 ． 2
6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖
． 比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：我没有获奖，丙获奖了；
（）
A． a 1,b 2,c Z
B． A 1500 , a sin A c sin C 2a sin C b sin B C． cos A sin B cosC cos(B C ) cos B sin C 0, C 60 0 D． a 3,b 1, A 600
【答案】 AD．
3．已知函数 f ( x) x2 1, g (x) ln x ，下列说法中正确的有（
）
A． f ( x), g ( x) 在点 (1,0) 处有公切线
B．存在 f ( x) 的某条切线与 g( x) 的某条切线平行
C． f ( x), g ( x) 有且只有一个交点
D． f ( x), g ( x) 有且只有两个交点
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【答案】 BD
【解析】 注意到 y x 1为函数 g( x) 在 (1,0) 处的切线，如图，因此答案 BD．
有 MAN 为直角，不符合题意；对于选项 C， MBN MOP MAN 即得 ． 答案： AC．
8． sin A sin B sin C cos A cosB cosC 是 ABC 为锐角三角形的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
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