第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时,一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体,若所受的力完全相同,则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关,而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × ) 二、填空题1.质点是指大小可以忽略不计,但具有一定质量的物体。
2.质点动力学的基本方程是∑=im F a ,写成自然坐标投影形式为∑=τF dt sd m 22∑=nF vm ρ2∑=b F 0。
3.质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4.质量为m 的质点沿直线运动,其运动规律为0ln(1)v t x b b=+,其中0v 为初速度,b为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5.飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ,则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1.如图所示,质量为m 的物块A 放在升降机上, 当升降机以加速度a 向上运动时,物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2.如图所示一质量弹簧系统,已知物块的质量为m ,弹簧的刚度系数为c ,静伸长量为s δ,原长为0l ,若以弹簧未伸长的下端为坐标原点,则物块的运动微分方程可写成( B )。
(A) 0=+x m c x (B) 0)(=-+s x m c x δ (C) g x m c x s =-+)(δ (D) 0)(=++s x m c x δ 3.在介质中上抛一质量为m 的小球,已知小球所受阻力R kv =-,坐标选择如图所示,试写出上升段与下降段小球的运动微分方程,上升段Aa图、、( A ),下降段( A )。
(A) x k mg xm --= (B) x k mg xm +-= (C) x k mg xm --=- (D) x k mg xm +-=-mOx图 图四、计算题9-1 质量为m 的物体放在匀速转动的水平转台上,它与转轴的距离为r ,如图所示。
设物体与转台表面的摩擦系数为f ,求当物体不致因转台旋转而滑出时,水平台的最大转速。
解:选物块为研究对象,受力分析如图所示。
应用自然坐标形式的质点动力学微分方程,有0=-mg F N s F mr =2ω 根据静滑动摩擦定律,有s F ≤N fF ,代入上式,有ω≤r gf 即物体不致因转台旋转而滑出时,水平台的最大转速为 rgf =max ω 9-2 如图所示离心浇注装置中,电动机带动支撑轮A 、B 作同向转动,管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。
铁水浇入后,将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型,从而可得到质量密实的管形铸件。
如已知管模内径400mm D =,求管模的最低转速n 。
s F图 图解:要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁,管模转动时要有一定的转速。
为求管模的最低转速,可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。
在临界转速下,铁水不受内壁作用,其只受重力作用。
受力分析如图所示。
列质点动力学微分方程,有mg D m =22ω 解得)/(72s rad Dg==ω 管模的最低转速n 为min)/(67307r n =⨯=π9-3 物体自地球表面以速度0v 铅直上抛。
试求该物体返回地面时的速度1v 。
假定空气阻力2R mkv =,其中k 是比例常数,按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。
m 是物体质量,v 是物体的速度,重力加速度认为不变。
解:物块在上升的过程中,其运动过程如右图(a)所示。
应用质点运动微分方程,有2mkv mg dtdv m --= 而dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=,所以上式可以写成 )(2kv g dxdv v +-= 即dxkv g vdv-=+2物体自地球表面铅直上抛到最高点,其速度由0v 变成0,而坐标由0变成h 。
两边积分,有⎰⎰-=+h v dx kv g vdv002这样有)1ln(2120gkv k h += 物块在下落的过程中,其运动过程如右图(b )所示。
应用质点运动微分方程,有 2mkv mg dt dvm -=上式可写成dx kv g vdv=-2物体自最高点下落到地面,其速度由0变成1v ,而坐标由0变成h 。
两边积分,有⎰⎰=-h v dx kv g vdv021解得21ln 21kv g gk h -=0v x vm1v )a (图 )b (图这样,有2120ln 21)1ln(21kv g g k g kv k -=+ 解得gkv v v 2011+=9-4 静止中心O 以引力2F k mr =吸引质量是m 的质点M ,其中k 是比例常数,OM =r 是点M 的矢径。
运动开始时0OM b =,初速度为0v 并与0OM 的夹角为α,如图所示。
求质点M 的运动方程。
解:应用直角形式的质点运动微分方程,有mx k mr k F dtx d m 2222cos cos -=-=-=θθ my k mr k F dty d m 2222sin sin -=-=-=θθ上面两式可分别写为0222=+x k dt x d ,0222=+y k dt y d其微分方程的通解可写为kt B kt A x sin cos 11+=,kt B kt A y sin cos 22+= 代入初始条件b x t ==0,αcos 00v dt dx t ==,00==t y ,αsin 00v dt dy t == 可解得b A =1,k v B αcos 01=,02=A ,kv B αsin 02= 质点M 的运动方程可写为 kt k v kt b x sin cos cos 0α+=,kt kv y sin sin 0α= 9-5 如图所示,胶带运输机卸料时,物料以初速度0v 脱离胶带,设0v 与水平线的夹角为α。
求物体脱离胶带后,在重力作用下的运动方程。
解:建立如图所示的坐标系。
物料脱离胶带后只受重力作用,应用质点运动微分方程,有022=dt x d m ,mg dt y d m=22即022=dt x d ,g dt y d =22其微分方程的通解可写为B At x +=,D Ct gt y ++=221 代入初始条件00==t x ,αcos 00v dt dx t ==,00==t y ,αsin 00v dt dyt == 可解得αcos 0v A =,0=B ,αsin 0v C =,0=D 物料脱离胶带后的运动方程可写为 αcos 0t v x =,αsin 2102t v gt y +=图 图9-6 滑翔机受空气阻力R kmv =-作用,其中k 为比例系数,m 为滑翔机质量,v 为滑翔机的速度。
在0=t 时,有0v v =,试求滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离 (假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。
解:滑翔机可视为质点,不妨假设滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为s 。
应用质点的运动微分方程,有kmv dts d m -=22上式可写为kv dtdv-= 上面微分方程的通解为kt Ce v -= 即kt Ce dtds-=,解得 D e kC s kt +-=- 代入初始条件00==t s ,00v dt dst == 可解得0v C =,kv D 0= 滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为)1(0kt e kv s --=9-7一物体质量kg m 10=,在变力100(1)F t =-牛顿作用下运动。
设物体初速度002m s v ./=,开始时力的方向与速度方向相同。
问经过多少时间后物体速度为零,此前走了多少路程解:初始时力的方向与速度方向相同,而且以后变力只是大小改变而方向并未改变,可见物体作变速直线运动。
以开始运动时为坐标原点,沿运动方向取坐标轴。
应用质点运动微分方程,有)1(10022t dt s d m -=即)1(1022t dt s d -=,解得D Ct t t s ++-=32355 代入初始条件00==t s ,00v dt dst == 解得2.00==v C ,0=D 物体的运动方程可写为t t t s 0235532+-= 物体的运动速度为2.05102+-==t t dtdsv 令物体速度为零,即02.05102=+-t t ,解得s t 02.2=,此时,物体的运动的路程为 m tt t s t t 07.72.035502.23202.2=+-===9-8 质量为kg 2的滑块M 在力F 作用下沿杆AB 运动,杆AB 在铅直平面内绕A 转动,如图所示。
已知t s 4.0=,t 5.0=ϕ (s 的单位为m ,ϕ的单位为rad ,t 的单位为s),滑块与杆AB 的摩擦系数为1.0=f 。
试求s t 2=时力的大小。
图B(a ))B解:(1) 选滑块M 为研究对象,受力分析如图(a)所示。
(2) 选滑块M 为动点,杆AB 为动系,由k r ne ay ax a a a a a ++=+作M 的加速度合成图如图(b)所示。
列ax a 投影方程有ne r ax a a a -=其中:在s t 2=时,022==dts d a r ,222/2.05.08.0s m AM a ne=⨯=⋅=ω,故有 2/2.0s m a a a ner ax -=-= 列ay a 投影方程有k ay a a =其中:在s t 2=时,s m dtdsv r /4.0==,2/4.04.05.022s m v a r k =⨯⨯==ω,故有 2/4.0s m a a k ay ==(3)应用质点运动微分方程,有ax s ma mg F F =--ϕsin ,ay N ma mg F =-ϕcos 其中:当s t 2=时,rad 1=ϕ,N s fF F =,代入上式,可得)(2.17sin N ma mg F F Cx s =++=ϕ9-9 质量为m 的小球C ,用两根长为L 的细长杆支持,如图所示。
球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动,设a AB 2=,不计杆自重,求各杆所受的力。
图解:(1) 由于球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动,球具有向心加速度nC a 如图(a)所示。
该加速度大小为CC CA F g2222ωωa L r a n C -==(2) 选小球C 为研究对象,受力分析如图(b)所示。