第二章 习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。

2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得：g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μ2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。

解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：f 1 N 1 m 1g TaFN 2 m 2gTaN 1 f 1 f 2T'T''2''2211T T a m T gm a m g m T ==-=-②① 由①②可求得：212121212,2'm m gm m T m m g m m T +=+=所以，天平右端的总重量应该等于T ，天平才能保持平衡。

2-21 一个机械装置如图所示，人的质量为m 1=60kg ，人所站的底板的质量为m 2=30kg 。

设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使所站着的底板在空中静止不动，此人应以多大的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是多大？解：装置的各部分和人的受力如图所示，据题意有：112233231213231200T T T T T T N N T T T T T T N m g T N m g ⎧'''===⎪⎪''===⎨'''+--=⎪⎪'+-=⎩ 解方程组得：312121()41(3)4T m m g N m m g⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入数据得：3220.5367.5T NN N =⎧⎨=⎩，即人应以220。

5N 的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是367.5N 。

2-22 桌面上有一质量m 1=1kg 的木板，板上放一个质量为m 2=2kg 的物体。

已知物体和板之间的滑动摩擦系数μ2=0.4，静摩擦系数为μ0=0.5，板和桌面间的滑动摩擦系数μ1=0.3。

（1）今以水平力拉板，物体和板一起以加速度a=1m/s 2运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力；（2）若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，f N 1 a 1a 2 xy（1）物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s 2，所以它们之间无相对运动。

1112222120f m a f N N N mg μ=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解方程组并代入数据得： 1228.82f N f N =⎧⎨=⎩ 所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为2N 和8.82N 。

（2）其中，N 1'=N 1，f 1'=f 1=μ0N 1，f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1，m 2分别应用牛顿二定律，有01111101222221200N m a N m g F N N m a N N m g μμμ=⎧⎪-=⎪⎨--=⎪⎪--=⎩ 解方程组，得 ()1020121222/a ga F m g m g m g m μμμμ==---要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即01212220F m g m g m g m gμμμμ--->()()()()02120.50.3129.823.52F m m g N μμ∴>++=+⨯+⨯= 即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于23.52N 的力。

2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg ，t=0时。

解：根据推力F-t 图像，可知F=4.9t （t ≤20）,令F=mg 即4.9t=2×9.8，t=4s ，因此，火箭发射可分为三个阶段：为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s 时，y = y 1，；t ≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大 高度时的坐标 y=y 2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt/ 4.9/29.8dv F mdt gdt tdt dt =-=-()0444.9/29.820vt tdv tdt dtt =-≤⎰⎰⎰()24.9/49.84 4.920v t t t =-+⨯≤20题图1max 220202024441(20)314/(4.9/49.84 4.9)4.9/49.84 4.91672y v v m sdy vdt t t dt dy t dt tdt dty m====-+⨯∴=-+⨯=⎰⎰⎰⎰第三阶段运动学方程)2()20(9.4)20(314),1()20(8.931421---=---=t t y y t v令v=0,由（1）求得达最大高度y 2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y 2-y 1=5030 y 2=y max =5030+1672=6702(m)2.24汽车质量为1.2×10kN ，在半径为100m 的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t 3+20t (m)，自t=5s 开始匀速运动，试求公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t 2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s ，a n =v 2/R=57.52/100=33 设摩擦力f 方向指向外侧，取图示坐标o-xy ，应用牛顿第二定律：②①ααααααααcos sin cos sin sin cos sin cos f ma N ma f N f mg N mg f N n n+==--==+②/①得：)sin /()cos (αααf mg f ma tg n -+=ααααααααtg a gtg m f f ma tg f mgtg n n sin cos )(,cos sin +-=+=-0,043.3033158.9<∴<-=-︒=-f tg a gtg n α ，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。

2.25 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.2.26如图所示，质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。

20.88/m s解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功：⎰⎰⎰+--===43)4()4(4422cos x dx x x T dx T dx F A θJx x x d x T100)35(50|9)4(50|]9)4[(2]9)4[(]9)4[(4022/12250422/122=-⨯=+-=+-⨯-=+-+--=⎰- 设木块到达B 时的速度为v ，由动能定理：2021221mvmv A -= s m v m A v /88.2065.0/1002/2220≈+⨯=+=，方向向右ABx2.26题图2.27题图2.27 如图所示，质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。

绳端作用以恒力F ,F=60N,木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s,求木块被拉至B 时的速度。

3.86 m/s.解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy ，木块在由A 到B 的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：A N = 0；A W = -mg(yB -y A )=-1.2×9.8×0.5= -5.88J ；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。