2013广东省高考压轴卷数学理试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 球体体积公式：343V R π=球(R 是半径)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1、设全集R ，{|(2)0},{|ln(1)},A x x x B x y x =-<==- 则A U （C B ）= （ ） A ．(2,1)- B ．[1,2) C ．(2,1]- D ．(1,2)2、已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= （ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ． 2i -+3、已知a ∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、函数()sin ()f x x x x R =+∈ （ ） A ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； B ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是增函数； C ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； D ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是增函数；5、已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线2x y =与21x y =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ） A.31 B.41 C.81 D.121 6、图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 368、称(,)||d a b a b =- 为两个向量,a b 间的距离。
若a b 、满足：①||=1;b②a b ≠ ； ③对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥，则 （ ） A. ()()a b a b +⊥- B. ()b a b ⊥- C.a b ⊥ D. ()a a b ⊥-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为___________10、设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是_________.11 、已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥 的体积为 .12、若23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n N -=++++⋅⋅⋅+∈，且13:1:7a a =，则5_____a = 13、定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ． 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14、已知曲线1C 的参数方程为（0≤θ＜π），直线l 的极坐标方程为4πθ=，()R ρ∈，则它们的交点的直角坐标为 _____ ．15、如图，直线PC 与 O 相切于点C ，割线PAB 经过 圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE =第11题图图乙图甲DNCBMAB DCNM A yxO -1654321-1-21三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示． (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．17. （本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 1240 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本题满分13分）如图甲，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2DAB π∠=，点M 、N分别在AB ，CD 上，且MN AB ⊥，MC CB ⊥，2BC =，4MB =，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）． （Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）当DN 的长为何值时，二面角D BC N --的大小为30︒？19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()1,2,3n = ． （I ）求证：数列{}1+n S 为等比数列； （Ⅱ）设2nnn S a b =,求证：1...21<+++n b b b ．20．（本小题满分14分）动圆P 在x 轴上方与圆F ：()2211x y +-=外切,又与x 轴相切.（1）求圆心P 的轨迹C 的方程；（2）已知A 、B 是轨迹C 上两点，过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，两条切线的交点为M, 设线段AB 的中点为N ，是否存在R λ∈使得MN OF λ=（F 为圆F 的圆心）；（3）在(2)的条件下，若轨迹C 的切线BM 与y 轴交于点R ，A 、B 两点的连线过点F,试求△ABR 面积的最小值．Ks5u21.（本小题满分14分） ()()0ln >--=a x a x x f . (1)若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值; (2)若0>a ,求()x f 的单调区间; Ks5u(3)试比较222222ln 33ln 22ln n n +++ 与()()()12121++-n n n 的大小.()2≥∈*n N n 且,并证明你的结论.2013广东省高考压轴卷 数学理试题答案一．选择题（每题5分，共40分） 二．填空题（每题5分，共30分）9、 15 10、____ __ 0 11、 212. 56- 13、 2 22n-14. 3030(,)6615.1251、()()0,2,,1,A B ==-∞[)1,,U C B =+∞2、12z i =-+，()()()5125510521212125i i i i ii z i i i ---====--+-+-- 3、2x x a -+>恒成立等价于()min2x xa -+>，即2a >4、()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=--=-，得()f x 为奇函数 ()/1cos 0fx x =+>得()f x 在R 上为增函数 5、区域A 面积为()3123120211|333x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ 11/4312P == 6、160~180是4A 到7A ，参与循环的是7i =，循环结束 是8i =7、先把两个女生选好在捆绑在一起22326C A =题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BACDDCBB假设捆在一起的女生记为A,B ，另一个女生记为C ，两个男生记为甲乙，从左到右编号1~5 （一）A,B 排在1,2号，那么甲可以选3,4.若甲选3，则C,乙无要求，有2种；如果甲选4号，则C 只能选5号，有一种。
则共3种情形（二）A,B 排在2,3号，那么甲只能选4号， C 只能选5号，有一种。
（三）A,B 排在3,4号，那么甲只能选2号， C 只能选1号，有一种。
（二）A,B 排在4,5号，情形同（一）共3种 则总数为N=6*8=48种8、考察向量减法的三角法则，以及向量模的几何意义。
对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥ ，表明(,)||d a b a b =-是所有(,)||d a tb a tb =- 中最短的一个，而垂线段最短，故有()b a b ⊥-9、7750350n =得n=15 10、线性规划，三角形区域，最优解（1,1） 11、四棱锥底面是直角梯形，面积为()122132⨯⨯+=，高为2，则体积为2 12、()()1133111276n n C a n n n a C -===---得n=8，55856a C =-=- 13、解：根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212f f f f f =+=+==⨯=。
3(3,2)(21,2)2[(2,2)(2,1)]2(21)622f f f f =+=+=⨯+==-， 4(4,2)(31,2)2[(3,2)(3,1)]2(61)1422f f f f =+=+=⨯+==-， 5(5,2)(41,2)2[(4,2)(4,1)]2(141)3022f f f f =+=+=⨯+==-，所以根据归纳推理可知(,2)22nf n =-。