2
4.列举法和描述法之间的相互转换 （1）列举法转换为描述法 ：找出集合中元素的共同特征 ，用描述法来表示。 （2）描述法转换为列举法 ：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等 。
四 子集 1.子集定义的三种语言 ①文字语言：对于两个集合 A 和 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素， 则称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A⊆B（或 A⊇B），读作集合 B 含于集合 A（或集合 B 包含 集合 A）。 ②符号语言：对于任意 a∈A，都有 a∈B，则称集合 A 是集合 B 的子集。 ③图形语言：Venn 图 若集合 A 是集合 B 的子集， 可用右图来表示两个 集合之间的关系 。 ★任何一个集合是它本身的子集 。 2.集合相等 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，同时集合 B 中的任何 一个元素都是集 合 A 中的元素，则称集合 A 等于集合 B，记作 A=B。（A⊆B 且 B⊇A⟹A=B） 3.真子集 如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，则称集合 A 为集合 B 的 真子集，记作 A B 或 B A（若 A⊂ B，且 A ≠ B，则集合 A 是集合 B 的真子集） 4.子集的性质
10.集合 M={1,2,3}的真子集的个数是 （ （A）6 （B）7
11.已知{1,2}⊆M {1,2,3,4}，则符合条件的集合 M 的个数是 （ （A）3 （B）4 （C）6
12.已知 M={y ∈ ������|������ = |������|}，N = {x ∈ ������|x = N2 }，则下列关系中正确的是 （ （A）N M （B）M= N （C）M≠N （D）M N
4 设集合 A={1,2,3},B={x|x⊆A},求集合 B.
5.已知集合 A = {x|x 2 − 3x + 2 = 0}，B = {x|x 2 − mx + m − 1 = 0}，若 B ⊆ A，求实数 m 的取 值范围.
8Leabharlann 6.设集合 A={1,a,b},B={a,a2 ,ab},且 A=B，求实数 a、b 的值.
8.设 a，b 都是非零实数，c＞0，y = |a| + |b| + |c|可能取的值组成的集合为 （ （A）{3} （B）{3,2,1} ）
5
（C）{3,1，-1}
（D）{3，-1}
9.下列命题中，正确的有 （
①空集是任何集合的真子集
②若 A B，B C，则 A C
③任何一个集合均有两个或两个以 上的真子集 ④如果凡不属于 B 的元素也不属于 A，则 A⊆B （A）①② （B）②③ ） （C）8 （D）9 ） （D）8 （C）②④ （D）③④
（D）等腰三角形
5.下列各组集合中 ，表示同一集合的是 （ （A）M={(3,2)},N={(2,3)} （C）M={(x,y)|x+y = 1},N={y|x + y = 1} 6.用列举法表示集合 {x|x 2 − 3x + 2 = 0}为 （ （A）{(1,2)} （B）{(2,1)}
（C）{1,2} ）
3
①A⊆A，即任何 一个集合都是它本身的子集 ②如果 A⊆B，B⊆A，那么 A=B ③如果 A⊆B，B⊆C，那么 A⊆C ④如果 A B，B C，那么 A C 五 空集 1.不含任何元素的集合叫做空集 ，记作 ∅ .
2.空集是任何集合的子集 ，是任何非空集合的真子集 。 3.{0}、0、∅与{∅}之间的关系 0≠{0}≠ ∅ ≠ {∅} 0∈{0} ∅ ⊆ {0} ∅ ∈ { ∅} ∅ ⊆ {∅ }
3
个元素 。
2.用列举法表示集合 A = {x|x ∈ ������， 6−x ∈ ������} =
8
3.集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合，则 a=
6
b=
4.用符号“∈”“∉”填空： （1）0 （2）5 x2 } 5.已知集合{2x,x 2 − x}有且只有 4 个子集，则实数 x 的取值范围为 6.设A = {x|1 < ������ < 2}，B = {x|x − a < 0}，若 A B，则 a 的取值范围为 7.若集合 A = {x 2 + ax + 3 = 0}为空集，则实数 a 的取值范围为 ������+ , 2 Z 3 2 （ -1,1 ） {x|x > 4} { y|y = x 2 } （-1,1 ） {(x,y)|y =
3.已知 a= 3，A = {x|x ≥ 2}，则 （A）a ∉ A （B）a ∈ A
（C）{a} = A
4.已知集合 S 中含有三个元素且为 △ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 （ （A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 ） （B）M={2,3},N={3,2} （D）M={(3,2)},N={(2,4)} ） （D）{x 2 − 3x + 2 = 0}
）
13. 下列六个关系式中 ：① {a ， b}={b ， a} ；② {a ， b} ⊆ {b ， a} ；③ ∅ {0}= ∅ ；⑤∅
{0}；⑥0∈ {0}，其中正确的个数是 （
= {∅
}；④
） （D）6
（A）1
（B）3
（C）4
二 填空题 1.由实数 x，-x， x 2 ，− x 3 所组成的集合 里最多有
{ x|x = n2 + 1，x ∈ ������+ }
三 解答题 1.已知M ={2,a,b},N={2a,a,b2 },且 M=N，试求 a 和 b 的值.
2.已知集合 M={−2，3x 2 + 3x − 4，x 2 + x − 4}，若 2∈ M，求 x.
7
3.已知集合 A = {x|ax 2 − 3x + 2 = 0}.若 A 是单元素集合，求 a 的值及集合 A.
7.由大于-3 且小于 11 的偶数组成的集合是 （ （A）{x| − 3 < ������ < 11，x ∈ ������} （C）{x| − 3 < ������ < 11，x = 2k，k ∈ ������}
a b c
（B）{x| − 3 < ������ < 11} （D）{x| − 3 < ������ < 11，x = 2k，k ∈ ������} ）
二 集合的分类 1.有限集：集合中元素的个数是可数的 ，只含有一个元素的集合叫单元素集合 ； 2.无限集：集合中元素的个数是不可数的 ； 3.空集：不含有任何元素的集合 ，记做∅ 三 集合的 表示方法
1
.
1.常用数集 （1）自然数集：又称为非负整数集，记做 N； （2）正整数集：自然数集内排除 0 的集合 ，记做 N+或 N※； （3）整数集：全体整数的集合，记做 Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记做 Q （5）实数集：全体实数的集合，记做 R 3.集合的 表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合 。如小于等于 8 的偶数构成的集合 。 （2）列举法 ：把集合的元素 一一列举出来 ，并用花括号 “｛｝”括起来表示集合的方 法，一般适用于元素个数不多的有限集 ，简单、明了 ，能够 一目了然地知道集合中的元素是 什么。 注意事项 ：①元素间用逗号隔开 ；②元素不能重复 ；③元素之间不用考虑先后顺 序；④元素较多且有规律的集合的 表示 ：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于 100 的自然数构 成的集合。 （3）描述法：用集合所含元素的共同特征 表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝. 注意事项：①写 清楚该集合中元素的代号 ；②说明该集合中元素的性质 ；③不能 出现 未 被说 明 的字 母 ；④ 多 层 描 述时 ， 应当 准 确使 用 “ 且 ”、 “或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内 ；⑥语句力求简明、 准确。 （4）图示法 ：主要包括 Venn 图（韦恩图 ）、数轴上的区间等 。 韦恩图法 ：一条封闭的曲线 ，用它的内部来 表示 一个集合的方法 ，直观表示集合间的关 系。
（C）高 一数学第一张的所有难题 2.下列说法正确的是 （ ）
（D）不等式 2x+3＞1 的解
（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合 （C）{x∈Q|x ∈ ������}是有限集
b
（B）0 与｛0｝表示同 一个集合 （D）{x|x∈Q 且 x 2 + x + 2 = 0}是空集 （ ） （D）a ∉ {a} ）
集合的基本概念和性质
【基本知识点】 一 集合与元素 1.集合是由元素组成的 集合通常用大写字母 A、B、C，…表示，元素常用小写字母 a、b、c，…表 示。 2.集合中元素的属性 （ 1 ） 确定性 ：一 个元素要么属于这个集合 ， 要么不属于这个集合 ， 绝无模棱两可的情 况。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体 ，相同的元素只能出现 一次。 （3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序 。 3.元素与集合的关系 （1）元素 a 是集合 A 中的元素，记做 a∈A，读作“a 属于集合 A”； （2）元素 a 不是集合 A 中的元素，记做 a∉A，读作“a 不属于集合 A”。 4.集合相等 如果构成两个集合的元素 一样 ，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关 。
六 有限集合的子集的个数 1.n 个元素的集合有 2n 个子集 2.n 个元素的集合有 2n − 1个真子集 3.n 个元素的集合有 2n − 1个非空子集 4.n 个元素的集合有 2n − 2个非空真子集
【课后练习】 一 选择题 1.下列每组对象可构成 一个集合的是 （ （A）中国漂亮的工艺品
4
） （B）与 1 非常接近的数
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