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线性系统的稳定性


-
1
传递函数为:
K1
(s)
n2 (s K1)
s
s3 2ns2 n2s K1n2
闭环系统特征方程为:
n2 s(s 2n )
C(s)
D(s) s3 2ns2 n2s K1n2
s3 2 0.2 86.6s2 86.62 s K186.62 s3 34.6s2 7500s 7500K1
一种代数判据,1895年由Hurwitz提出。
设系统特征方程为:
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
其系数行列式为:
a1 a3 a5 a7
a2n1
a0 a2 a4 a6
a2n2
0 a1 a3 a5
a2 n 3
Dn 0 a0 a2 a4
a2n4
0 0 a1 a3
a2n5
0000
例8:系统特征方式为 s4 2s3 8s2 4s 2 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解:系统特征方程式所有系数均大于0
D1 2 0 240
D3 1 8 2 40 0 024
所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0 ,故系统稳定。
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D(s1) 2(s1 1)3 10(s1 1)2 13(s1 1) 4 2s13 4s12 s1 1
列劳斯表:
s13
4
1
s12
4
1
s11
1 2
s10
1
劳斯第一列系数的符号变化了1次, 因此该方程中
有1个根在s=-1(新的虚轴)的右边, 故系统稳定裕
量达不到-1。
3.5.6 赫尔维茨(Hurwitz)判据(补充)
中K1为积分器时间常数有关的待定参数。已知参数
=0.2,n =86.6,试用劳斯稳定判据确定使闭
环系统稳定时K1的取值范围。如果要求闭环系统的
极点全部位于s=-1垂线之左,问K1值范围又应取
多大?
R(s) E(s) 1
-
n2 s(s 2n )
C(s)
K1 s
R(s) E(s)
解:由图可得系统闭环
s0 K
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
根据劳斯判据, 系统稳 定必须满足
K 0, 2 9K 0 7
因此, 使系统闭环稳定的 K的取值范围为
0 K 14 9
当K=14/9时, 系统处于临 界稳定状态。
注意:劳斯表中同一行元素同乘以或除以同一个正 数,由劳斯判据所得的结论不变。
a1b4 b1
,
f1
e1d2 d1e2 e1
an
劳斯判据: 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零,则系
统稳定。反之,如果第一列中出现小于或等于零的 数,系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次 数,等于特征方程正实部根的数目。
例 1:
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来 描述的, 而微分方程的解通常就是系统输出 量的时间表达式, 它包含两个部分: 稳态分 量和瞬态分量。
研究系统的稳定性, 就是研究系统输出量中 瞬态分量的运动形式。 它完全取决于系统 的特征方程, 即齐次微分方程, 这个特征方 程反映了扰动消除之后输出量的运动情况。
极点位于S左半平面,系统稳定; 极点位于S右半平面,系统不稳定; 极点位于虚轴上,系统临界稳定.

0
σ
注意:稳定性是线性定常系统的一个属性,只与系统 本身的结构参数有关,与输入输出信号无关,与初始 条件无关;只与极点有关,与零点无关。
线性定常系统稳定性判断方法:
1)有界输入,其输出也为有界的系统为稳定系统。 2)单位冲激响应满足绝对可积。 3)其极点均位于s左半平面,则系统为稳定系统。 4)对复杂高阶系统,利用劳斯稳定判据或赫尔维兹 稳定判据进行判定。(一种代数判据)
K
C(s)
-
s(s2 s 1)(s 2)
解: 系统的闭环传递函数为
C(s)
K
R(s) s(s2 s 1)(s 2) K
所以系统的特征方程为
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
列劳斯表如下:
s4 1 3 K s3 3 2 0
s2 7 K 3 7 3K
s1 2 9K 7
设控制系统的特征方程式为
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
(1) 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是: 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 正值,且特征方程式不缺项。
(2)列劳斯表。
劳斯表
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5 sn2 b1 b2 b3 sn3 c1 c2 c3
稳定系统
不稳定系统
若线性控制系统在初始扰动的影响下,其 动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原 平衡工作点),则称系统渐近稳定,简称稳定; 反之,若在初始扰动影响下,系统的动态过程 随时间的推移而发散,则称系统不稳定。
3.5.2 线性系统稳定性的充要条件
线性系统的稳定性取决于系统本身的固有特 性,而与外界条件无关。
s13 31.6s12 7433.8s1 (7500K1 7466.4) 0 列劳斯表:
s13
1
7433.8
s12
31.6
7500K1 7466.4
s11
31.6 7433.8 (7500K1 7466.4) 31.6
s10
7500K1
令劳斯表第一列系数均大于0,则闭环系统的极点全 部位于s=-1垂线之左,得:
5)利用根轨迹进行系统稳定性判定。(图解法) 6)利用奈氏稳定判据或对数频率特性进行系统稳定 性判定。 (图解法)
7)李亚普诺夫稳定性判据。
3.5.3 劳斯稳定判据
根据线性定常系统稳定性的充分必要条件, 可以 通过求取系统特征方程式的所有根, 并检查所有特征 根实部的符号来判断系统是否稳定。 但由于一般特征 方程式为高次代数方程, 因此要计算其特征根必须依 赖计算机进行数值计算。 采用劳斯稳定判据, 可以不 用求解方程, 只根据方程系数做简单的运算, 就可以确 定方程是否有(以及有几个)正实部的根, 从而判定系统 是否稳定。 以下是劳斯判据的具体内容。
0 K1 32.3
例6:已知系统的特征方程为: D(s) 2s3 10s2 13s 4 0
检验系统是否具有σ=1的稳定裕量。 解:(1)首先判断原系统的稳定性:
列劳斯表:
s3
2
13
s2 10 4
s1 130 8 10
s0 4
由于该表第一列系数均大于0, 故原系统是稳定的。
(2)将 s s1 s1 1 代入原特征方程得:
s2 d1 d2 d3 s1 e1 e2 s0 f1
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
a6
b1
a1a2

a0a3 a1
,
a7 b4
b2
a1a4 a0a5 a1
,
b3
a1a6
a0a7 a1
,
c1
b1a3
a1b2 b1
,
c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7
解: 系统特征方程式的系数均大于零, 并且没有缺
项, 所以稳定的必要条件满足。列劳斯表
s4 1
3
5
s3 2
4
0
s2 1
5
s1 6
由于该表s0 第5一列系数的符号变化了两次, 因此该方
程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定的。
例 2:系统如图所示,确定使系统稳定的K的取
值范围。 R(s) E(s)
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解:系统特征方程式所有系数均大于0,且
D1 1 0
15
D2 2
7 0 3
15 0 D3 2 3 10
01 5
15 0 0 2 3 10 0 D4 0 1 5 0 0 2 3 10
因为二阶主子式小于0,所以系统不稳定。
在特征方程所有系数大于0的前提下,系统稳 定的充要条件式:所有奇数次赫尔维茨行列式均 大于0,或所有偶数次赫尔维茨行列式均大于0。
D(s) s4 2s3 3s2 6s 1 0
s4 1
3
1
s3 2
6
0
s2 0 1
s1 6 2
s0 1
其中 6 2 0
由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方
程中有两个根在s右半平面, 故系统是不稳定的。
2.在劳斯表的某一行中, 出现所有元均为零的 情况。
(1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 (2)再将上述辅助方程对s求导 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素,继 续完成劳斯表。
an
赫尔维茨判据:系统稳定的充要条件是在a0>0 的情况下,上述行列式的各阶主子式均大于0,否则 系统不稳定。即:
D1 a1 0
D2
a1 a0
a3 0 a2
a1 a3 a5 D3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
Dn 0
例7:系统特征方式为 2s4 s3 3s2 5s 10 0
线性定常系统稳定的充分必要条件是: 特征方程 式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征方 程的根均在复平面的左半平面。即闭环线性定常系统 稳定的充分必要条件是:系统的闭环极点均在s平面的 左半部分。
对于s平面右半平面没有极点, 但虚轴上存在极点的 线性定常系统, 称之为临界稳定的, 该系统在扰动消除后 的响应通常是等幅振荡的。 在工程上, 临界稳定属于不 稳定, 因为参数的微小变化就会使极点具有正实部, 从而 导致系统不稳定。
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