下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方 程来判定线性定常系统的稳定性。 例 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
x1 0 x2 1 1 x1 1 x 2

解 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xPx
(3) 不稳定性定理

定理 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若 存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) V’(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的; 2) 若V’(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0)0, V’(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不稳定的。 □
不难看出,原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵,则
0 Q 0 0 0 0 0 0 0 1
由于为非正定,且只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹
不恒为零。 因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结 论依然成立。
设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得
2
12k 6k 0
6k 3k k
0 k 6
行 (1 ) ( 2 ) 2 (1 )
列 (1 ) ( 2 ) 2 (1 )

k 0 0
2
0 3k k
正定(>0正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
线性定常连续系统的稳定性分析 设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0, 即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二 次型函数的形式。


上述第(3)点可由如下定理中得到说明。
定理 线性定常连续系统

x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为 矩阵方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫 函数。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法,该方法 不需寻找李雅普诺夫函数, 不需求解系统矩阵A的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。

3) 对于非线性系统,虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所 讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的,但并不意 味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的; 对于线性系统,如果存在着渐近稳定的平衡态,则它 必是大范围渐近稳定的。 4) 此定理不仅适用于线性系统,同样适用于非线性系统;既 适用于定常系统,同样也适用于时变系统。 因此李雅普诺夫第二法是判别平衡态稳定性的具有 普遍性的方法。 5) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函 数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态 方程而具体分析。
0 1 0 k 0 1 p1 1 p 12 p 13 p1 3 p1 1 p 23 p 12 p p 33 13 p1 3 p 23 p33 0 0 k 0 0 1 0 0 1 0 0 1
由定理可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程
PA+AP=-I.
于是,令对称矩阵P为
p 11 P p 12 p 12 p 22
将P代入李雅普诺夫方程,可得
p 11 p 12 p 12 0 1 0 1 1 1 p 22 1 p 11 1 p 12 p 12 1 0 p 22 0 1
(2) 稳定性定理

定理 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若 存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) V’(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 2) 更进一步,若V(x,t)的定义域为Rn,对任意的t0和任意的 x(t0)0,V’(x,t)在t>t0时不恒为零,那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将 仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时,随着||x||→,有V(x,t)→,则该系统在原点处的 一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 □
τ τ

例 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
k s 1
x2
1 s 2
x1
1 s
-
解 由图可写出系统的状态方程为
x1 0 x2 0 k x3 1 2 0 0 1 1 x1 x 2 x3
(1) 渐近稳定性定理

定理 设系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下 述条件: 1) 若V’(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是 一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→,有V(x,t)→,那么该系 统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。 □
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的 全导数分别为
3 V (x) x P x x 2 1
τ
1
τ
1 x 0 2 0 x 0 1
1 V ( x ) x Q x x 0
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件,而非必 要条件。

也就是说,若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函 数,则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。 但是,如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数, 也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 此时,我们或者 继续寻找满足条件的李雅普诺夫函数,或者 可利用后续定理的结论来判别平衡态的渐 近稳定性。 2) 对于渐近稳定的平衡态,满足条件的李雅普诺夫函数总 是存在的,但并不唯一。

李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论 。 它不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统;既适用于 定常系统,也适用于时变系统。 因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有 普遍性的方法。 李雅普诺夫稳定性理论对控制理论中其他分支理论的发 展也起着重要的作用,是进行现代系统分析和设计的基 础工具。
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附 近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式,
然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。
其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
李雅普诺夫第一法的基本结论是:
1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
V(x)
V’(x)
结论
下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定 正定(>0) 负定(<0) 该平衡态渐近稳定
方法作一小结 半负定(0)且不恒为0
正定(>0) 正定(>0)
(对任意非零的初始状态的解)
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态渐近稳定 该平衡态稳定 但非渐近稳定
该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。
由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵 方程的唯一解的推论。
推论如果线性定常系统x’=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的, 那么李雅普诺夫代数方程 PA+AP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。 □


在应用上述基本定理和推论时,还应注意下面几点: 如果V’(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q 可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件 为: 存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。 Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关。 由定理及其推论可知,运用此方法判定系统的渐近稳定 性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=I。 于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程: PA+AP=-I 求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
展开后得,有:
2 p 12 p 11 p 12 p 22 p 11 p 12 p 22 1 2 p 12 2 p 22 0 0 1
因此,得如下联立方程组:
2 p 12 1 p 11 p 12 p 22 0 2 p 12 2 p 22 1
解出p11,p12和p22,得
p 11 P p 12 p 12 1 3 1 p 22 2 1 2
为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下: