例题一（矩形）1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解：∵ABCD为矩形∴AC＝BD，且OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°∴△AOB为等边三角形∴OB＝OA＝AB＝4，∴BD＝2OB＝2×4＝8cm．2．如图12-2-2所示：□ABCD中AC，BD直交于O，EF⊥BD垂足为O，EF分别交AD，BC 于点E，F，且AE=EO=DE.求证：□ABCD为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD为矩形，显然只要证AC＝BD即可，若Rt△DOE的斜边上的中线OM，易证△AOE≌△DOM，∴OA＝OD问题得证．证明：取DE的中点M，连结OM，∴在Rt△DOE中，OM=DE=DM，∴OE=AE=DE，∠OME=∠OEA∴OM＝OE，DM＝AE，∠OMD＝∠OEM，∴△OMD≌△OEA，∴OA=OD，在□ABCD中，∵OA=AC，OD=BD，∴AC＝BC ∴□ABCD为矩形．3．已知：如图所示，E是已知矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CE＝CA，F是AE的中点．求证：BF⊥FD分析：由于CE＝CA，F是AE的中点，若连结CF，则CF⊥AE．所示∠AFC＝90°.所以要证BF⊥FD，只须再证∠CFB＝∠AFD．易知，只要证△AFD≌△BCF．证法一：连结CF．因为CE＝CA，F是AE中点，所以CF⊥AE．所以∠AFD+∠DFC＝90°，因为四边形ABCD为矩形，所以AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵F是Rt△ABE斜边BE的中点，所以BF＝AF，所以∠FAB＝∠FBA，所以∠FAD=∠FBC．所以△FAD≌△FBC．所以∠CFB=∠AFD，所以∠CFB+∠DFC＝90°，即BF⊥FD．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE = CA随堂练习(矩形)一、填空题1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝．2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.＝8cm2，则AD＝，3．如图矩形ABCD中，E是CD的中点，且AE⊥EB，若SEABAB＝ .4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长为，对角线的长 .5．在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是 .6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，如图，且四边形AFDE为矩形，若EF＝5，矩形AFDE的面积为12，则AC= .7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE 交AB于点F，则AF= ．8．如图，宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点C′位置，BC′交AD于G，再折叠一次使点D与点A重合．得折痕EN，EN交AD于点M，则点ME的长为 .二、选择题1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cmC．4cm和11cm D．7cm和8cm 2．下列四边形中，不是矩形的是（）A．三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．一组对边平行且对角线相等的四边形D．对角线相等且互相平分的四边形3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数（）A．18° B．36°C．54° D．72°4．已知矩形ABCD对角线相交于O，且AB：BC=1：2，AC＝ 3cm，则矩形ABCD的周长为（）A．（6+2）cm B．cmC．（6+）cm D．12cm 5．矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）A．对角线相等B．对边相等C．对角相等D．对角线互相平分6．矩形的两条对角线与各边围成的三角形中，共有多少对全等的三角形（）A．2对B．4对C．6对D．8对7．矩形的对角线所成的角是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A．57．5°B．32．5°C．57．5°，33．5° D．57．5°，32．5°8．下面真命题的个数是（）（1）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（3）两条对角线相等的四边形是矩形（4）有两个角相等的平行四边形是矩形（5）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个三、判断题1．两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形（）2．两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形（）3．矩形是轴对称图形，而且有四条对称轴（）四、解答题1．已知，如图在△ABC中，D是AB上一点，且AD=DC=BD，DF，DE分别是∠ADC，∠BDC 的平分线．求证：四边形DECF是矩形．2．已知：如图AC、BD的交点O是四边形ABCD的对称中心，且∠A＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．3．已知：如图△ABC中，CE⊥AD于点E，BD⊥AD于点D，M是BC的中点．求证：ME=MD.4．已知：如图，矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE＝15°.求∠COD与∠COE的度数．5．如图：多边形ABCDEFGH相邻两边都互相垂直，若要求出其周长，那么最少要知道多少条边的长度？参考答案一、填空题1．1：2 2．12 3．cm 4．5，105．15° 6．7 7．10 8．二、选择题1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C三、判断题1．× 2．× 3．×四、解答题1．证明：因为AD＝CD＝DB，所以∠DCA＝∠A，∠BCD＝∠B所以∠ACB=∠DCA+∠BCD＝∠A+∠B又因为∠ACB+∠A+∠B＝180°所以2∠ACB＝180°，即∠ACB＝90°因为DF平分∠ADC，DE平分∠BDC又AD＝CD＝DB所以DE⊥BC，DF⊥AC所以∠DEC＝∠DFC＝90°所以四边形DECF是矩形点拨：要判断DECF是矩形，除了根据定义判断外，还可用有三个角是直角的四边形，或者对角线相等的平行四边形．由题设AD＝CD＝BD知△ADC，△BDC都是等腰三角形．又DF，DE是角平分线，所以DF⊥AC，DE⊥BC.2．证明：因为四边形ABCD是关于O的中心对称图形，则相对的顶点是关于O点的对称点，所以OA＝OC，OB＝OD，即AC，BD互相平分于点O，所以四边形ABCD是平行四边形．又因为∠A＝90°,所以四边形ABCD是矩形．点拨：由O是对称中心，易知OA＝OC，OB＝OD，可得四边形为平行四边形，根据定义，只要有一个角为90°，即可．3．证法一：延长DM交CE于点N，延长EM交BD延长线于点H，连结HN.因为CE⊥AD，BD⊥AD，所以CE∥BD，所以∠NCM＝∠DBM,又∵CM＝BM，∠CMN=∠BMD，所以△CMN≌△BMD，所以NM＝DM，同理可证EM＝HM.所以四边形EDHN是平行四边形，又因为CE≌AD，所以EDHN是矩形．所以EH＝DN所以ME＝MD．证法二：延长DM交CE于点N，同证法一△CMN≌△BMD，所以NM＝MD，即M为DN的中点，所以ME＝MD点拨：注意到CE⊥AD，BD⊥AD，提示构造矩形EDNH，使它的对角线交于点M来证．另若延长DM交CE于点N，则构成直角三角形，可设想到利用直角三角形斜边上的中线性质来证．4．解：因为DE平分∠ADC，所以∠ADE＝45°,所以∠ADB＝∠ADE-∠ODE＝45°-15°＝30°．所以∠ODC＝∠ADC-∠ADB＝90°-30°＝60°.因为ABCD为矩形，所以△OCD为等腰三角形．所以∠COD＝180°-2∠ODC＝60°,所以△OCD是等边三角形．所以OC＝CD．又在Rt△ECD中∠EDC＝45°,所以CE＝CD．所以OC＝CE．又因为ABCD是矩形，所以∠OCE＝∠ADB＝30°．所以△CEO中，∠COE=（180°-∠OCE）＝（180°-30°）＝75°．点拨：由于ABCD为矩形，求∠COD的度数，只要先求出∠CDO或∠DCO的度数，由图及题设条件可知．由于DE平分∠ADC，∠BDE=15°，可求出∠ADB＝30°，从而可求出∠ODC＝60°，故∠DOC＝60°显然△COD是等边三角形，△CED是等腰直角三角形，从而可知△CEO中CE＝CO,∠OCE＝30°,则∠COE=（180°-∠OCE）＝（180°-30°）＝75°．5．解：至少需要知道三条边的长度．例题二(菱形)l．已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．分析：要求∠CEF的度数，可先求∠AEB的度数，而要求∠AEB的度数则必须求∠B的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D＝60°．如连结AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B＝∠D＝60°.因为∠BAE＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°所以∠CEF＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．∴△ABC和△CDA为等边三角形∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°∵∠EAF＝60°∴△BAE=∠CAF ∴△ABE≌△ACF ∴AE＝AF又∵∠EAF＝60°∴△EAF为等边三角形∴∠AEF＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF＝18°2．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N.求证：四边形AMNE是菱形．分析：要证AMNE是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN是∠DAC的平分线，只要证AM＝AE，则AN垂直平分ME，若证AN⊥ME，则再由BE平分∠ABN易知BE也垂直平分AN，即AN与ME互相垂直平分，故有AM＝MN＝NE＝AE，即AMNE是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE垂直平分AN后，可得AM＝MN，所以∠MNA＝∠MAN＝∠NAE，所以MN AE，则AMNE是平行四边形，又AM＝MN所以AMNE是菱形．证法一：因为∠BAC＝90°，AD⊥BC，所以∠BAD＝∠C因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC．因为∠AME＝∠BAD+∠ABE＝∠C+∠EBC＝∠AEM，所以AM＝AE，又因为AN平分∠DAC，所以AM＝MN，所以AM＝MN＝NE＝AE．所以AMNE是菱形．证法二：同上，若证AN垂直平分ME，再证BE垂直平分AN，则AM＝MN，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE．所以AMNE是平行四边形，由AM＝MN得AMNE是菱形．3．已知：如图菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且OA＝DE，边长AD＝8，求菱形ABCD的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA是△ABD的边BD上的高，又由DE⊥AB，OA＝DE，易知△AOD≌△DEA从而知△ABD是等边三角形，从而菱形ABCD面积可求．解：在菱形ABCD中，因为AC⊥BD，所以△AOD是直角三角形，因为DE⊥AB，所以△AED 是直角三角形．在Rt△AOD和Rt△AED中，因为AD＝AD，DE＝OA，所以Rt△AOD≌Rt△DEA．所以∠ADO ＝∠DAE，因为ABCD为菱形，所以∠ADO＝∠ABO，所以△ABD是等边三角形．因为AD＝8，DE＝AB·DE＝8⊥AB，所以AE＝AD＝4，在Rt△AED中，DE＝=4.从而S菱形ABCD×4=32注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC，BD的长，按S=AC·BD来计算，但后者较繁复．菱形ABCD4．已知：如图，□ABCD中，AD＝2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CD＝CE＝DF；求证：AE⊥BF分析：注意□ABCD中，AD＝2AB这一特殊条件，因此□ABCD能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE交BC于点G，BF交AD于点H，连结GH.因为AB∥DF，所以∠F=∠ABH，∠FDH=∠BAH.又因为AB＝CD＝DF，所以△ABH≌△DFH.所以AH＝HD=AD=AB.所以BC AH，BG=AB．则四边形ABGH是菱形，所以AE⊥BF5．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF和△DOF是关于直线EF成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF＝∠ODF，再结合已知得到∠ODF＝∠OAE，从而判断DF∥AE，得到AEDF是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF是菱形。