空间定位几何基础原理
节点定位技术是智能空间的关键技术之一。位置信息是智能空间中不可缺 少的部分，没有位置信息的数据往往是不具有任何意义的。许多的研究机构都 对智能空间的节点定位算法和系统展开了研究 [103-106] ，到目前为止，大部分定 位算法都是基于二维平面的算法。在实际应用中，不仅需要确定移动节点的水 平坐标，还需要知道所处的高度。现阶段，在智能空间三维定位系统方面的研 究还不成熟，如何通过参考点快速准确实现移动节点空间定位是本章研究内容。
即，一定存在 k1 , k2 , k3 ，使得下列关系成立：
k1 PP 1 2 k2 PP 1 3 k3 PP 1 4 0
不失一般性，首先假定 k1 0 。在这种情况下， P 1P 2 可以被写为 P 1P 3 和P 1P 4 的线性结合。也就是说向量 P 1P 2 ,P 1P 3 和P 1P 4 是在一个平面上。因此 P1, P2, P3 和 P4 四个节点在同一个平面上。 这样证明了定理 1 的必要性。 通过了充分性和必要性的证明，定理 1 得到了证明。
经过对方程组(2)近一步的计算可以得到如下方程组：
(2)
2( x1 x2 ) x 2( y1 y2 ) y 2( z1 z2 ) z 1 2( x1 x3 ) x 2( y1 y3 ) y 2( z1 z3 ) z 2 2( x x ) x 2( y y ) y 2( z z ) z 1 4 1 4 3 1 4
空间定位的几何基础
考虑在三维空间中计算未知节点的位置。假设这里有四个不同的参考点
P i ( xi , yi , zi ) (i 1, 2,3, 4) ，并且要得到一个未知节点的位置 O ，它的坐标是 ( x0 , y0 , z0 ) ，只要通过计算信号在两个节点 O 和 Pi 之间传播时间差可以得到节
点之间的距离 Ri D(O, Pi ) ，如图 1 所示。
图 1 多边定位 Fig 1 Multilateral position
通过未知节点和已知节点之间的距离关系，得到下列方程组：
( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 ( z z1 ) 2 R12 2 2 2 2 ( x x2 ) ( y y2 ) ( z z2 ) R2 2 2 2 2 ( x x3 ) ( y y3 ) ( z z3 ) R3 ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 R 2 4 4 4 4
这样的情况下，通过一些转换就使这个非线性方程的求解问题被转化为解 一个线性方程组的问题，那么 就是这个方程的决定性算子，称之为三维空间
3
的定位算子 。
3
x1 x2 8det x1 x3 x x 1 4
3
y1 y2 y1 y3 y1 y4
z1 z2 z1 z3 z1 z4
P 1P 2 ，P 1P 3 和P 1P 4 三个向量就在一个 1, P 2, P 3和 P 4 节点在一个平面内的话，那么 P
平面上。 假设 P 1P 2 和P 1P 3 是线性相关的，那么就有 k1 , k2 ， 表示为实数空间， 则有：
k1 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) k2 ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 ) 0
(5)
然而，当定位算子 3 0 的时候，线性方程组的解将是无穷大，也就是通 过四个参考点 Pi (i=1,2,3,4)不能够决定未知节点 O 的位置，如图 4.2 所示。因此 在布置参考点的时候定位算子不应该等于 0，即 3 0 。在考虑计算定位算子的 时候应该尽可能使其远离 0，下面将通过定理 4.1 的证明，给出定位算子 3 0 的几何解释。 定理 1：当利用多边定位法求解未知节点位置时，当且仅当 P 1, P 2, P 3和 P 4四 个节点在同一个平面上，则定位算子 3 0 ，即这样无法利用这四个点实现未 知节点的定位。
其中方程组(4.3)的 1 , 2 , 3 的表达式如下所示：
2 2 2 2 1 R2 R12 x2 x12 y2 y12 z2 z12
(3)
2 2 2 2 R32 R12 x3 x12 y3 y12 z3 z12
2 2 2 2 3 R4 R12 x4 x12 y4 y12 z4 z12
经过对方程组(1)的分解，可以得到以下方程组：
(1)
x 2 x12 2 xx1 y 2 y12 2 yy1 z 2 z12 2 zz1 R12 2 2 2 2 2 2 2 x x2 2 xx2 y y2 2 yy2 z z2 2 zz2 R2 2 2 2 2 2 2 2 x x3 2 xx3 y y3 2 yy3 z z3 2 zz3 R3 x 2 x 2 2 xx y 2 y 2 2 yy z 2 z 2 2 zz R 2 4 4 4 4 4 4 4
3 在这种情况下，通过决定性的属性可以得到定位算子 0 。
如果向量 P 1P 2 和P 1P 3 是线性无关的， k1 , k2 ，则：
( x4 x1 , y4 y1 , z4 z1 ) k1 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) k2 ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 )
定理 1 的充分性得到了证明。
3 2．必要性：首先假定定位算子 0 ，那么这里一定存在 k1 , k2 , k3 ，这
样：
k1 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) k2 ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 ) k3 ( x4 x1 , y4 y1 , z4 z1 ) 0
p1 P1
P3 p3
p2 P2 p O p4 P4
图 2 参考点共面 Fig 2 Reference nodes on a plane
证明：
1．充分性：如果这四个节点中的任意两个是相同的，那么能够推导出定位 算子 3 0 。 因此，不失一般性，这里假定 P i (i 1, 2,3, 4) 四个节点是不同的节点。如果
如果定位算子 3 不为 0，那么这个线性方程组将有唯一的解，这个解是：
1 x0 3 2 y0 3 3 z0 3
其中 i (i 1, 2得到的。
(4)
1 1 2 2 3