多传感器融合方法一、 数学知识1、 期望定义1设X 是离散型随机变量，它的概率函数是：k k ,1,2,P X X p k === （） 如果1k k k x p ∞=∑有限，定义X 的数学期望()1k k k E X x p +∞==∑定义2设X 是连续型随机变量，其密度函数为()f x ，如果()x f x ∞-∞⎰有限，定义X 的数学期望为()()E x xf x dx +∞-∞=⎰2、 条件数学期望定义X 在Y y =的条件下的条件分布的数学期望称为X 在Y y =的条件下的条件期望。

当(),X Y 为离散随机向量时()()||i i iE X Y y x P X x Y y ====∑当(),X Y 为连续随机向量时()()|y ||x E X Y y xp x y dx +∞-∞==⎰3、 贝叶斯公式定义设Ω为试验E 的样本空间，B 为E 的事件，12,,n A A A 为Ω的一个划分，且()0P B >，()()01,2,,i P A i n >= ，则()()()()()1||,1,2,|i i i njjj P B A P A P A B i n P B A P A ===∑称此为贝叶斯公式。

4、 贝叶斯估计期望损失：ˆˆ(|)(,)(|)R x p x d θλθθθθΘ=⎰损失函数：ˆ(,)λθθ，把θ估计为ˆθ所造成的损失 常用损失函数：2ˆˆ(,)()λθθθθ=-，平方误差损失函数 如果采用平方误差损失函数，则θ的贝叶斯估计量ˆθ是在给定x 时θ的条件期望，即：[]ˆ|(|)E x p x d θθθθθΘ==⎰同理可得到，在给定样本集χ下，的贝叶斯估计是：[]ˆ|(|)E p d θθχθθχθΘ==⎰ 求贝叶斯估计的方法：（平方误差损失下） ● 确定θ的先验分布()p θ ● 求样本集的联合分布1(|)(|)Ni i p p x θχθ==∏● 求的后验概率分布(|)()(|)(|)()p p p p p d χθθθχχθθθΘ=⎰● 求的贝叶斯估计量ˆ(|)p d θθθχθΘ=⎰Gaussian 情况，仅参数θμ=未知给定样本集χ，已知随机变量()2~,k x N μσ均值未知而方差已知。

均值变量的先验分布()200~,N μμσ，求的后验概率()|p μχ()()()()()|||p p p p p d χμμμχχμμμ=⎰2200121212(,)(,)112220110(,,,,)(|,,,)(,,,)1()()(,,,)11exp 22kl l l lk k l ll kk k k p x x x p x x x p x x x x p x x x x μσμσμμϕμϕμμμησσ=====⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∏∑其中：20020(,)01()2μσμμϕμσ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22(,)1()2kk k k x x μσμϕσ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦121(,,,)l p x x x η=在已知12(,,,)l x x x 的条件下，被测参数μ的条件概率密度函数的指数部分是μ的二次函数，因此12(|,,,)l p x x x μ 也服从高斯分布，设()2~,N N N μμσ，即：2121(|,,,)2Nl N p x x x μμμσ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦综合以上两式可得：02210221011lkk k N lk kx μσσμσσ==+=+∑∑用ˆμ表示被测参数μ的贝叶斯估计结果，则：21ˆ2N N N d μμμμμμσ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰5、 最大似然估计似然函数：在统计学中，是一种关于统计模型参数的函数。

给定输出x 时，关于参数θ的似然函数L (θ)（在数值上）等于给定参数θ后变量X 的概率。

()(|)(;)L P X x P X x θθθ====最大似然估计：事件A 与参数θ∈Θ有关，θ取值不同，则P (A )也不同。

若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值。

离散型设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为(;)p x θ，其中θ是未知参数。

设12,,n X X X 为取自总体X 的样本，12,,n X X X 的联合概率函数为1(;)ni i p X θ=∏，若θ为常量，则表示{}1122,,n n X x X x X x === 的概率。

若已知样本取的值是12,,n x x x ，则事件{}1122,,n n X x X x X x === 发生的概率为1(;)ni i p X θ=∏，这一概率随θ的值而变化。

从直观上来看，既然样本值12,,n x x x 出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使1(;)ni i p X θ=∏取比较大的值。

换句话说，θ应使样本值12,,n x x x 的出现具有最大的概率，将上式看作θ的函数，并用()L θ表示，就有：121()(,,;)(;)nn i i L L x x x p X θθθ===∏称()L θ为似然函数。

极大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围Θ内，选取使()L θ达到最大的参数值ˆθ，作为参数θ的估计值，即取θ，使1212ˆ()(,,;)max (,,;)n nL L x x x L x x x θθθθ∈Θ== 因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数()L θ的最大值问题，可通过解下面的方程()0dL d θθ=来解决。

因为ln L 是的L 增函数，所以ln L 与L 在θ的同一值处取得最大值。

称()ln ()l L θθ=为对数似然函数，ln ()0d L d θθ=称为似然方程。

解上述两个方程得到的ˆθ就是参数θ的极大似然估计值。

● 连续型设总体X 是连续型随机变量，其概率函数为(;)f x θ，若取得样本观察值为12,,n x x x ，则因为随机点()12,,n X X X 取值为()12,,n x x x 时联合密度函数值为1(;)nii f X θ=∏。

所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大，取似然函数为1()(;)ni i L f X θθ==∏，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值。

求最大似然函数估计值的一般步骤： ● 写出似然函数● 对似然函数取对数，并整理 ● 求导数 ● 解似然方程 6、 均方误差均方误差（Mean Squared Error, MSE ）：在数理统计中均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值。

211()nt t t MSN observed predicted n ==-∑二、 多传感器融合方法1、基于贝叶斯估计的多传感器检测数据融合方法该方法主要用于利用多个相同类型传感器对同一被测参数的测量，使用该方法可以改善单个传感器可靠性对最终测量结果的影响。

（1） 置信距离理论x i 和x j 分别表示在一次测量中第i 个和第j 个传感器的输出数据，有：2(|)2jix ij i i i x d p x x dx S ==⎰2(|)2ijx ji j j j x d p x x dx S ==⎰式中ij d 定义为x i 对x j 的置信距离，式中ji d 为x j 对x i 的置信距离。

21(|)2i i i i x x p x x σ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21(|)2jj j j x x p x x σ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦置信距离反映了传感器输出数据之间的相互支持关系，如ij d 反映了传感器i 输出数据对传感器j 输出数据的支持程度。

置信距离越小，两个传感器的观测值越相近，否则偏差就很大。

由此方法可以得到n 个传感器中任意两个传感器输出数据之间的置信距离，将这些值用矩阵形式表示，即为n 个传感器输出数据的置信距离矩阵。

111212122212m m m m m mm d d d d d d D d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 最佳融合数的选择方法得到置信距离矩阵后需要选择一个临界值ij β对置信距离进行划分，用以判断两个传感器输出数据之间是否支持。

当ij ij d β≤时，认为第i 个传感器的输出支持第j 个传感器的输出数据，当ij ij d β≤时，认为第i 个传感器的输出不支持第j 个传感器的输出数据。

10ij ijij ij ijd r d ββ≤⎧=⎨≥⎩由此也可得到一个矩阵，称之为关系矩阵：111212122212m m m m m mm r r r r r r R r r r ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦关系矩阵表示任意两个传感器输出之间是否支持，由此可以判断每一个传感器输出数据是否认为有效。

这样需要第二个临界值m ，即对于一个传感器输出，当它被多于m 个传感器输出支持时认为其输出数据有效。

由此方法依据关系矩阵对n 个传感器的输出结果进行选择，得到l 个有效数据参与融合计算，这l 个有效数据成为最佳融合数。

（3） 基于贝叶斯估计的融合计算方法02210221011lkk k N lk kx μσσμσσ==+=+∑∑（4） 实验仿真设被测参数μ服从高斯分布，设(350,8.45)N μ 。

传感器 编号 123456789输出值 350.66 356.08 358.27 345.52 366.93 353.69 .49.44 358.02 337.84 方差11.36 9.82 1.53 13.36 35.65 12.28 11.69 10.82 12.26置信矩阵：选择临界值0.9ij β=，则对应的关系矩阵为：选择当一个传感器输出数据被5个以上传感器支持时认为该传感器输出数据有效，故得到最佳融合数由第三、第六和第八个传感器输出数据组成，最终融合结果：022102210356.816411lkk k N lk kx μσσμσσ==+==+∑∑2、基于最大似然法的多传感器数据融合方法 （1） 置信距离、关系矩阵和最佳融合数的确定同1。

（2） 最大似然法假设各传感器测量值服从高斯分布，即：21(|),1,2,,2i i i i x p x i n θθσ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦似然函数：()()()121,,;|nn i i i L L x x x p x θθθ===∏求似然函数最大值，即求：()12,,;0n L x x x θθ∂=∂ 对似然函数取对数，得：()12ln ,,;0n L x x x θθ∂=∂()21211,,;2ni n i i x L x x x θθσ=⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥=-⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎭∏()21211ln ,,;2n i n i i x L x x x θθσ=⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑())212211ln ,,;1111exp 22212nn i ii i i iii ni i iL x x x x x x x θθθθσσσθσθσ==⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎢⎥=-∙-∙∙ ⎪ ⎪ ⎪∂⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎣⎦⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-=∑∑解)10ni i ix θσ=-=∑，得111nii ini ix σθσ===∑∑（3） 实验仿真用10个传感器测某特征参数，获得数据如下表所示：传感器 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 910输出值 1.000 0.990 0.980 0.970 0.500 0.650 1.010 1.020 1.030 1.500 0.050.070.100.200.300.250.100.100.20 0.30置信矩阵：选择临界值0.5ij β=，则对应的关系矩阵为：选择当一个传感器输出数据被6个以上传感器支持时认为该传感器输出数据有效，故得到最佳融合数由1、2、3、4、7、8、9传感器输出数据组成，最终融合结果：110.999421nii ini ix σμσ====∑∑3、最小均方误差估计 （1） 理论研究假设m 个传感器同时对一维目标直接进行观测，其观测方程的特征方程为()()(),1,2,,1,2,,i i z k x k v k k n i m =+==式中，m 为传感器个数；n 为信号长度；()i z k 为传感器i 在第k 时间的观测值；()i v k 为传感器i 在第k 时间的观测噪声；()x k 为待估计的目标状态。