方向从正极进入电源）时，ε取正，绕行方向与电流方向相同时，
反之，取负。
IR前取正，反之取负。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
★ 应用基尔霍夫定律注意事项：
（1）若电路中有n个节点，那么只有(n-1)个 节点的方程是独立的。 （2）在写回路方程时，要选独立回路。独 立 回路：回路里至少有一条支路是别的回路所不 包含的。
I j dS
通过一个曲面上的电流等于 该曲面上的电流密度的通量。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
3. 电流的连续性方程
电流线 在电流场中作一些有方向的曲线,让曲线上的每一 点的切线方向与该点 j 的方向一致,这些曲线就叫做电流线。 同时规定通过与 垂直j 的单位面积上的电流条数,等于该点 的大小j 。
第十一章
恒定电流和恒定磁场
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第十一章 恒定电流和恒定磁场
11.1 电流密度 电流连续性方程
1.电流 形成电流的条件： ⑴ 在导体内有可以自由移动的电荷（载流子） ⑵ 导体内部存在电场
当导体内存在电场时，正电荷沿着电场方向 运动，负电荷逆着电场的方向运动，形成电流。 习惯上把正电荷运动的方向规定为电流的方向。
含源电路：一段电路中既有电阻又有电源，如图所示。 计算图示中的A、B两点间的 电位差：
首先假定各段电路中 电流的方向，若求得电 流为正，说明实际电流 方向与假定方向相同， 否则相反。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
各段电路中的电流方向假定如图所示的方向，在 ACB这 段电路上的总压降为：
U A UB I1R1 1 I1r1 2 I2r2 I2R2 I2r3 3
在电源内部，电源把电荷 q从负极移到正极的 过程中，非静电力所做的功为
r r
A qEK dl
第十一章 恒定电流和恒定磁场
电源的电动势： A
q
r r EK dl
★说明：
（1）电动势是描述电源内部非静电力做功本领的物 理量，由电源本身的性质决定，与外电路的性质无关。
（2）电动势是标量。为了方便，规定电动势的方向：
,设通过该面元的电流为dI ,如图所示，则该点的电流密
度的大小为
j dI dS
方向与面元的法线 n的方向一致。
单位： A m2
第十一章 恒定电流和恒定磁场
如果面元 dS的法向
n与
j
的夹角为
如图所
示，则通过 dS上的电流为
dI j cosdS j dS
通过导体中任意有限曲面S上的电流为
第十一章 恒定电流和恒定磁场
★ 讨论：
（1）当R→∞，即外电路处于开路状态时， I=0，则 ε=UAB
（2）当R→0，，即电源短路时，则短路电流 I=ε/r
（3）当电源内阻r=0时，则ε=UAB，即电源的路端 电压等于电源的电动势，该电源称为理想电 源。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
一段含源电路的欧姆定律
在电源内部从正→负。
ε 若整个闭合电路中都有非静电力
存在，则电动势定义为
=
A q
=
l Ek.dl
第十一章 恒定电流和恒定磁场
2.闭合电路的欧姆定律
如图所示的闭合电路，在时间t 内，通过电路任一横截面的电
荷为q It ，则电源所作的功
为 q It ，根据能量守恒定
律，这些能量全部转化为焦耳 热，则
dR dr 4r 2
R
RB dr RA 4r 2
4
1 RA
1 RB
(RA RB ) 4RA RB
第十一章 恒定电流和恒定磁场
漏电电流为
I U A U B 4RA RB (U A U B )
R
(RA RB )
在距球心为r处的球壳上的电流密度的大小为
j I I RA RB (U A U B ) 1
It I 2Rt I 2rt I
Rr
闭合电路 欧姆定律
第十一章 恒定电流和恒定磁场
若电路中有多个电源，则
i
I
i
ri Rk
i
k
在上图中，由欧姆定律可得
U AB IR
可得 IR Ir U AB Ir
上式表明：当闭合电路中有电流通过时，电源电 动势等于路端电压与内阻上的电压降的代数和。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
定量描述电流强度
电流强度 I
单位时间内通过导体中某一截面的电量。
如果在dt时间内通过导体某一截面S的电量为 dq，则通过该截面的电流强度为：
I lim q dq t0 t dt
在国际单位制中，单位：安培(A)。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
2.电流密度
电流密度是描述导体中每一点的电荷流动的特征的物 理量。
★ 对ε、IR和Ir的符号作如下规定： （1）在电阻上，当电流方向与约定方向相 同时，IR或 Ir前写正号，反之为负号； （2）在电源上，当电动势的方向与约定方 向相反时，ε前写正号，反之为负号。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
11.4 基尔霍夫定律及其应用
1.支路 节点 回路
支路：由电源、电阻或由它们串连而成的一条电 路。
热功率密度：单位时间内在导体单位体积中放出的热量，用
p表示。
在导体中取一小柱体 ，在时 间 t内，小圆柱体内产生的热量 为
Q (dI )2 Rt
U dI
U+dU dS
dl
p
Q
dI 2
Rt
jdS 2
dl dS
t
j2
V t dSdlt
dSdlt
第十一章 恒定电流和恒定磁场
根据欧姆定律的微分形式，可得
稳恒电场：稳定条件下的电场。且满足环路定理
E dl 0
第十一章 恒定电流和恒定磁场
11.2 欧姆定律 焦耳—楞次定律
1.欧姆定律 欧姆定律：在温度一定的情况下,流过导体的电流I与 导体两端的电压U成正比，即
I GU，或 I U R
G称为电导，R称为电阻。在国际单位制中,电导的单位 西门子(S),电阻的单位：欧姆（Ω）。
如图所示：在电流场中任取一闭合曲面S,S内的电荷为q， 在闭合曲面上 j
的通量就是由S内向外
流出的电流。根据电荷
守恒定律，它应等于单位时间内面电荷的减少量，即
j dS
dq dt
电流的连续性方程
第十一章 恒定电流和恒定磁场
4. 稳恒电流和稳恒电场
稳恒电流：电流密度 j 仅是空间位置的函数,而
与时间t无关。
稳恒条件（产生稳恒电流的必要条件）：空间各 点的电荷不随时间变化，即
dq 0 dt
由电流的连续性方程可得稳恒条件的数学表达式为
j
ds
0
第十一章 恒定电流和恒定磁场
由稳恒条件可得如下结论: ⑴ 流进闭合面的电流,等于流出闭合面的电流。 ⑵ 稳恒电流场中的电流线是无头无尾的闭合曲线。
通过 dS上的电流为dI，由欧姆定律得
dI dU R
其中R是小柱体的电阻
R dl 1 dl ds ds
U dI
U+dU dS
dl
第十一章 恒定电流和恒定磁场
代入可得：
dI dU dS
dl
dI ( dU )
dS
dl
由于 dI j dS
j E
dU E dl
矢量式：
欧姆定律的 微分形式
5.焦耳-楞次定律
如果电流通过一段纯电阻电路，导体内自由电荷在做定向运动的 过程中，将动能转化为热能，热能正好等于电流的功，即
Q A IUt
根据欧姆定律，上式可变为
Q I 2Rt
上式称为焦耳-楞次定律。 意义：电流通过导体放出的热量与电流的平方、导体的电阻和 通电时间三者成正比。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
结束
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压降的代数和等于零，即 E IR 0
第十一章 恒定电流和恒定磁场
如图所示的回路，应用基尔霍夫第二定律，可得
(1 2 ) (I1R1 I2 R2 I3R3 ) 0
★ 注意：
（1）在写回路电压方程以前， 首先选定一个回路绕行的方向。
（2）在写回路电压方程时，电动
势的方向与绕行方向相反（即绕行 （3）在写回路电压方程时，当
p E 2 E2
上式即是焦耳—楞次定律的微分形式。 ★ 该式说明：热功率密度仅与电场强度的平方及 导体的电阻率成正比，它取决于外加电场与导体 的性质，而与导体的几何形状与尺寸无关。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
11.3 电动势
1.电动势 要想在导体中形成稳恒电流，电路中必须存
在一种本质上与静电力不同的力，我们把它叫做 非静电力，它能够把正电荷从电位低的地方移到 电位高的地方，能够提供非静电力的装置叫做电 源。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
★ 说明： （1） 电阻反映导体对电流的的阻碍程度,电导反映 了导体对电流的导通能力. （2） 欧姆定律对金属和通常情况下的电解液成立, 但对于半导体二极管、真空二极管以及许多气体导 电管等元件不成立. （3） 当导体内部含有电源时, (1)不再成立，因此(1)式 常称为不含源电路的欧姆定律.
如图所示的不均匀导体内，正电荷在通过A、 B时运动方向是不同的。
为了更精确地描述导体内
各点的电流分布情定磁场
电流密度矢量 j ：对于导体中的任一点，j 的大小等于通过
该点与电流方向垂直的单位面积上的电流；方向为正电荷
在该点处的运动方向。
在导体内部某点处取一个与电流方向垂直的面元 dS
节点：电路中三条或三条以上支路的会合点称为 节点。
回路：几条支路所构成的闭合电路。
第十一章 恒定电流和恒定磁场
2.基尔霍夫定律 （1）基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流进 节点的电流之和等于流出节点的电流之和，即