清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权
2
()x x x ρ=
-****0123(),(),(),()T x T x T x T x .
证明：
1
1
**2
1
1
*
*20
12
2
1**20
()()()(21)(21)211()()()()()211()22
()()1()1()()()()()1n
m
n m n
m
n m n m n n
m
n m x T x T x dx x T x dx
x x
t x x T x T x dx t T t dt t t t T t dt
t
T x x
x T
x T x dx t T t t ρρρ---=---=-=++-=
--=
-⎰⎰⎰⎰
⎰令，则
由切比雪夫多项式1
01=02
m n dt m n m n ππ
≠⎧⎪⎪
=≠⎨⎪==⎪⎩⎰
所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权2
()x x x
ρ=
-
*00*11*
2
2
2
2*33233()(21)1()(21)21
()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181
T x T x T x T x x T x T x x x x
T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-
14.已知实验数据如下：
i x 19 25 31 38 44 i y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 即
5
5327271.453277277699369321.5a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得
0.972579
0.050035a b =⎧⎨
=⎩
拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差
2
4
2
2
0[]0.015023i i
i y a bx σ==--=∑
21.给出()ln f x x =的函数表如下：
x
0.4 0.5 0.6 0.7 ln x
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有
1
100.60.5
0.693147
0.510826
0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52
j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑
所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--
2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===
由拉格朗日插值定理有
20
22
(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)
0.916291
0.6931470.510826
(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)
2.041150 4.0684752)().217097
()
j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以
2ln 0.54(0.54)0.615320
L ≈=-
误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-⨯
23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。

i x -0.3 -0.1 0.1 0.3 ()i f x
-0.20431
-0.08993
0.11007
0.39569
边界条件''(0.3)''(0.3)0s s -==
解：由剖分节点可知012
121211
0.2,,22h h h λλμμ======= 101221236[,,] 6.4215,6[,,] 6.4215d f x x x d f x x x ====
得到方程组
1212 6.421521 6.421522M M ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
解得12 2.5686M M == 注意到030M M ==
得到三次样条插值函数()s x
322322.1405 1.92645 1.0642150.000632,[0.3,0.1]1.28430.002773,[0.1,0.1]2.1405 1.926450.9357850.000632,[0.1,0.()3]x x x x x x x x x x x s x ++-∈--+-∈--⎧+∈=+-⎪
⎨⎪⎩
29.确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所
构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()(0)()h
h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰
解：取2()1,,f x x x =，有
21h
h h dx A B C -=≈++⎰
0h
h
xdx Ah Ch -=
=-+⎰
3
22223h
h
h x dx Ah Ch -==+⎰ 解以上方程，得1
4,33
A C h
B h ===
求积公式为141()()(0)()333
h
h f x dx hf h hf hf h -≈-++⎰
取3
()f x x =，30,()(0)()0h
h
x dx Af h Bf Cf h -=-++=⎰
取4()f x x =，
4544542112,()05333
()(0)()
h
h
h
h
x dx h h h B h h h x dx Af h Bf Cf h --=
-+⋅+⋅=≠-++⎰
⎰所以
因此构造的求积公式代数精度为3
30.证明求积公式
1
1
133()[5()8(0)5()]955f x dx f f f -≈-++⎰ 的代数精度为5 证明：取()i f x x =
则对0i ≥任意的，有1
1
11+11-1110,11(1)()|=2
111
i i i
i i f x dx x dx x i i i i ++--⎧--⎪
===⎨++⎪+⎩⎰⎰为奇数
，为偶数 1
01121()133133133
[5()8(0)5()]=[5()5()]=[-5()5()]=09559559551331
0[5()8(0)5()]=[585]=295591331332
2[5()8(0)5()]=[55]=9559553134[5()895i f x f f f f f f f i f f f x dx
i f f f x dx
i f --++++=++++==++⨯+⨯==+⎰⎰为奇数时，为奇函数
时，时，时，141161
31992
(0)5()]=[55]=5925255133127276
6[5()8(0)5()]=[55]=955912512525f f x dx
i f f f x dx
--+⨯+⨯==++⨯+⨯≠⎰⎰时，
从而有62
68()0,05,()0725175
i E x i E x =≤≤=-=≠ 所以求积公式的代数精度为5 33.求1212,,,x x A A ,使公式1
11220()()()x A f x A f x x
≈+为高斯型求积公式 解：构造区间[0,1]x
的二次正交多项式22()P x x ax b =++ 由2()P x 与1x 和正交，可得
2200220())253P x dx x ax b dx a b x x ==++=++
220
222
0()()753xP x dx x x ax b dx a b x x ==++=++
联立以上方程，可得6
3,7
35
a b =-= 所以2263()7
35
P x x x =-+
求2()P x 的零点即为高斯求积公式的节点
121
(326/5)0.11558711007
1
(326/5)0.7415557471
7x x =
-==+=
1
1
1
2100120
01
1
1
1211210
15()()()1 1.304290310
3615
()()()10.6957096903
36A x l x dx x dx x x x x A x l x dx x dx x x x x ρρ=====-=====-⎰⎰。