ab 课题: §3.4基本不等式 ab 2
第一课时
1.课题导入
基本不等式
ab ab 2
的几何背景：
如图是在北京召开的第 24 界 国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去象一个风车。你能在这 个图案中找出一些相等关系或 不等关系吗？
2.讲授新课
y x
＞0
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 ∴ x＋y≥2 xy >0 x2＋y2≥2 x 2 y 2 >0
x3＋y3≥2 x 3 y 3 >0（当且仅当x=y时，式中取等号）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy · 2 x2 y2 · 2 x3 y 3 ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，式中取等号）
1．探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全 等的直角三角形。设直角三 角形的两条直角边长为a,b那 么正方形的边长为 a2 b2 这样，4个直角三角形的面 积的和是2ab，正方形的面积 为 a 2 b2
由于 4 个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到 2 2 a b 2ab 了一个不等式：
例1 已知x、y都是正数，求证： (1) y x ≥2；
ab 分析 ：在运用定理： 2 ab时，注意条件 a 、
x
y
b 均为正数，结合不等式的性质 ( 把握好每条
性质都是正数
∴
x y
＞0，
x y x y x y 2 =2 即 2 y x y x y x （当且仅当x=y时，式中取等号。）
2 2
2
2
2
当a b时,(a b) 0,当a b时,(a b) 0 所以(a b)2 0，即a2 b2 2ab
4．1）认识基本不等式
ab ab 2
特别的，如果a>0,b>0,我们用 a , b 分别代替a、b ，可得 a b 2 ab , 通常我们把上式写 作 ab a b (a>0,b>0) (当且仅当a=b时， 2 式中取等号）
2 ） 从不等式的性质推导基本不等
式
ab ab 2
用分析法证明： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b

2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 （ a- b ）
2
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
3、例题讲解
4.随堂练习
ab 分析：对于此类题目，选择定理： 2
1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc
ab
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. c＋a≥2 ac ＞0
解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 ab >0 b ＋ c≥2 bc ＞
0 2 bc· 2 ac =8abc ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2 ab ·
探究图形变化过程
当直角三角形变为等腰直角 三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有
a b 2ab
2 2
2．得到结论：
一般的，如果a, b R,那么a b 2ab
2 2
(当且仅当a b时取" "号)
3．思考：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a b 2ab (a b)
5.课外作业
课本第113页习题[A]组的第1题
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. (当且仅当a=b=c时，上式取等号）
5.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋ ab 2 b ≥2ab；两正数a、b的算术平均数( 2 )， 几何平均数（ ab ）及它们的关系 ab （ 2 ≥ ab ）.它们成立的条件： (1)、前者只要求a、b都是实数，而后 者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求 函数最值的重要工具 。