B1为常数
J
t
2e
e
d
Kc 0 Kc
代入上式，
Kc
Kc(0)
-
B2
t 0
e
e Kc
d
,
B2 2 B1
即:
Kc
-
B2e
e Kc
(2.1)
e : 灵敏度函数，反映参数变化 Kc 对误差e变化的大小，求解关键。
求 e ： Kc
e ym - yp
R Kc
[
Kmq(s) p(s)
-
R
调节器
被控对象
+
可调系统
Yp
适应机构
二 工作原理 分类 – 并联型
– 串联型
– 串并联型
技术难点 — 设计自适应机构，确定自适应律 – 局部参数最优化方法 – 利用李雅普诺夫稳定性理论的设计方法 – 利用波波夫超稳定性理论的设计方法
§2 局部参数最优化设计方法
第三章 模型参考自适应控制
一 单个参数的MIT方法 简介（以调节器的增益Kc作为可调参数的MIT方法）
自适应律为： Kc Beym
R为一阶跃信号，即R(t)=A×1(t)， 当t →∞，ym 达到稳态，此时，ym=Km × A 此时，e 的动态方程为( 把 Kc 代入，方程两边对t 求导)，
b2e b1e e -K pK c R -K pBeym A -K p ABeKm A
即： b2e b1e e BK pKm A2e 0
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
同理可得：
y i
p -1
y p
i -1
-
Di-1 y p
n
，1
1 jDj
j 1
D i -1r
n
，1 i
1 jDj
in m
j 1
可见：
t
[ y p i-1
]
-
1
[ y p ]
t
i-1
1
Di yp
n
jDj
j 1
Dir
i 1
i0
对上式两边分别求偏导，可得：
即：
y p
i y p
i
-Di -D
yp ir -
n
j 1
n
j
j 1
jD Dj
j y p i
y p
i
y p
i
y p
i
-
Di y p
n
， 1
1
jD j
j 1
Dir
n
， 1 i
1
jD j
in m
j 1
二 具有多个可调参数的MIT的设计
三 局部参数优化方法的稳定性问题
b2e b1e e BK pKm A2e 0
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式:
s3
b2
1
s2
b1
BK p Km A2
s1 b1 - b2 BK p K m A2
0
b1
s0
1
得知，当
BK p K m A2
b1 b2
R
调节器
被控对象
+
可调系统
Yp
适应机构
二 工作原理
自适应控制（模型跟随） - 参考模型输出Ym(k)是可调系统的参考轨迹 - 希望对象的动态输出跟踪参考模型的输出 - 适应机构比较两者之差，确定自适应规律 - 改变调节器参数（参数自适应型），或产生一辅助输入信 号(信号综合型)
第三章模型参考自适应控制
- 麻省理工学院于1958年提出的，因此也叫MIT方法 - 最早提出、最早应用的一种方法 - 理论简单，实施方便，可用模拟元件实现 - 实质是一个可调增益的系统
一. 单个参数的MIT方法
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
工作背景
设参考模型为 Kmq( s) ，对象模型为 K p(t)q(s)
时，系统不稳定。
作业：实验2 用局部参数最优化方法设计MRAC
实验二 用MIT方法设计模型参考自适应控制系统
1. 要求 某一被控对象:
q( s )
2
Gp(s) K p
p( s )
s2 2s 1
参考模型:
q(s)
1
Gm (s) Km
p( s )
s2 2s 1
用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，了解这种设计方
(2.3)
Kc
p( D)
欲消去 q(D) / p(D),
ym Km q( D)
R
p( D)
即:
q( D) p( D)
ym R Km
代入(2.3)式，
e Kc
-
Kp Km
ym
(2.4)
e
Kp
Kc - Km ym
Kc
-
B2e
e Kc
(2.1)
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
代入(2.1)式: Kc B e ym (2.5)
其中 B
B2
Kp Km
为一系数。
自适应律为一积分适应律：Kc(t )
Kc(0)
t
B0
e
ymd
(2.6)
系统构成框图：
Kmq(s)
ym
R
P(s)
+e
-*
Kc
Kp
q(s)
p(s)
yp
*B
+
Kc(0)
需要两个乘法器和一个积分器，可用模拟元件构成。
当其它参数，如T、τ发生变化时，也可仿效这种方法设计，
第三章模型参考自适应控制
李雅普诺夫稳定性定理
二 函数的正定性 设V(X)是定义在状态空间上的一个标量函数。
1. 正定 2. 负定
3. 半正定
V
(
x)
0
0
x0 x0
V
(
x)
0
0
x0 x0
0 V ( x) 0
0
x0 某些点
x0
4.半负定 V(x)为半正定，V(x)为半负定
一般来说，自适应控制系统在反馈控制的 基本回路上加上自适应机构构成。具有三 方面的功能：
（1）在线辨识。 （2）决策控制。 （3）在线修正。
自适应控制系统主要分为两大类： （1）模型参考自适应控制系统。 （2）自校正自适应控制系统
模型参考自适应控制
(Model Reference Adaptive Control) MRAC
简单直观，但在某些情况下，不能保证设计系统的全局稳定性 考察这种方法的稳定性可观察广义误差信号的稳定性
三 局部参数优化方法的稳定性问题
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
例：某一二阶系统的传递函数为:
G(s)
K pq(s) p( s )
b2 s2
Kp b1s 1
b2 yp b1 y p y p K pu K p Kc R
b2 ym b1 ym ym 差方程为: b2e b1e e (Km - K p Kc ) R
自适应律为： Kc Be ym
三 局部参数优化方法的稳定性问题
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
广义误差方程为: b2e b1e e (Km - K p Kc ) R
稳定判据计算的结果比较。
复习：李雅普诺夫稳定性定理
第三章模型参考自适应控制
李雅普诺夫稳定性定理
一 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统的状态方程为: x f ( x, t )
x为系统状态，t 为连续时间变量。 如果状态空间存在某一状态Xe，使下式成立:
f ( xe ,t) xe 0
则Xe为系统的一个平衡点。 设状态空间的原点为系统的平衡点，即有: f(0，t)=0
i si
i0 n
1 isi
i 1
广义输出误差为:
e(t)=ym(t)-yp(t)，目标函数为：J
1 2
t1e2 ( t0
)d
设计目标是寻求 i (e,t), i (e,t) 的调节规律，以使J 最小。
按照单参数的调节规律，可导出下列适应律：
i
i
- Kie - K ie
e i e i
(1) 李雅普诺夫意义下的稳定性概念 用η表示系统平衡点(状态空间原点)附近 的一个球域，而用ε表示另一球域。
ε η
复习：李雅普诺夫稳定性定理
(1)稳定性概念 ε
(2) 渐进稳定性
ε
η
η
第三章模型参考自适应控制
李雅普诺夫稳定性定理
(3) 不稳定
ε η
从η域出发的 任何轨迹总 不脱离ε.
if‖x(t0)‖≤η
Kc
K
p
q(s) ]R
p(s)
(Km
-
Kc
K
p
)
q(s) p(s)
R
引入微分算子D，即: D d D2 d 2
dt
dt2
—kpm(—qs()—s)
Kp
-pq-((-ss-))-
适应律
ym +e -
yp
e的微分方程:
e (Km - KcKp) q(D) R p( D)
(2.2)
e - Kp q(D) R
p( s )
p( s )
其中: p(s) sn a1sn-1 an-1s an
q(s) b1sn-1 b2sn-2 bn
– Km为常数，根据系统希望的动态响应事先确定 – p(s)、q(s)已知
R
—kpm(—qs()—s)