第2次数学物理方程习题答案第七章6、一根杆由截面相同的两段连接而，两段的材料不同，弹性模量分别是EⅠ和EⅡ，密度分别是ρ1、ρ2.试写出衔接条件。

解：两段杆的接点设为x=0。

其波动方程分别为：011211111111>=-<=-x u Eu x u E u xx tt xx ttρρ在连接处，由于该波的振幅是连续的 ，于是有： )1(01101+-===x x u u在交接处的应力应该相等，这是由于相互作用力相等而得由于 xu n u xu n u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂111111 所以有：)2(01111011+-==∂∂=∂∂x x xu SE xu SE第3次第4次1、求解无限长弦的自由振动。

设弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(x a ϕ'-。

解： 泛定方程： ∞<<∞-=-x u a u xx tt 02初始条件：⎪⎩⎪⎨⎧'-====)()(00x a u x u t t t ϕϕ对于一维无界的弦振动，其解可用达朗贝尔公式：⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),(其中：)()(x a x ϕψ'-= 对于积分项，有：)]()([21)(21)]([21at x at x d d a a at x at x at x at x +--=='-⎰⎰-++-ϕϕξϕξξϕ 所以，其解为： )()]()([21)]()([21),(at x at x at x at x at x t x u -=+--+-++=ϕϕϕϕϕ则只有右行波，是一行波，不是驻波。

8、半无限长的弦，初始位移和速度都是0，端点作微小振动t A u x ωsin 0==。

求解弦的振动。

解：将半无限长的弦拓展为无界空间的弦。

则其泛定方程为：∞<<∞-=-x u a u xx tt 02初始条件为：⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥===0)(00)(0000x x x u x x x u t tt ψϕ 其中)(x ϕ、)(x ψ为待定，（因为该两等于0时，方程只有0解） 边界条件：t A u x ωsin 0== 该泛定方程的达朗贝尔解为：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( 将边界条件代入达朗贝尔解，得：⎰-+-+=atatd a at at t A ξξψϕϕω)(21)]()([21sin注意到：当0≥x 时，有0)(,0)(==x x ψϕ。

则有： 0)(,0)(0==⎰+atx d at ξξψϕ所以边界条件的方程变为： ⎰-+-=)(21)(21sin atd a at t A ξξψϕω 为了方便求)(x ϕ，不妨令at y -=，则有：⎰+=-0)(21)(21)(sin yd a y a y A ξξψϕω若取)(sin 2)(ayA y -=ωϕ，则0)(=x ψ。

于是有：0),(sin 2)(>-=x a xA x 其中ωϕ， 则：ax t at x a xt A a at x A at x >>--=--=-即其中,0),(sin 2)(sin 2)(ωωϕ 于是方程的解为：axt axt A at x t x u >-=-=),(sin )(21),(ωϕ第5 次《数学物理方程》第5次作业 参考答案1、长为l 的弦，两端固定。

弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力F 0把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。

解：泛定方程为：2(1)tt xx u a u -=边界条件、初始条件为：000000(0,)(,)0(2),(0)(,0)(3)(),()(,0)0(4)t u t u l t F l x x x x T lu x F x l x x x l T lu x ==-⎧⋅<<⎪⎪=⎨⎪⋅-<<⎪⎩=令(,)()()1u x t X x T t =代入泛定方程（），得：222221+00(0)()0X T X a TT a T X X X X l λλλ''''==-''⎧=⎪⎨''+=⎪⎩==于是方程（）变为：边界条件为：X 的解形式为：()cos sin 0(0,1,2,3,X x A x B x A n n lλλπλ=+===由边界条件可知：…)000001()cossin()(cos sin )n n n n n n T t T C D tn at n atT C D l ln at n atT t C D t C D l l ππππ∞==+=+=+++∑解的形式为：001(,)(,)(cos sin )sinn n n u x t n at n at n x u x t C D t C D l l l πππ∞==+++∑可写成：由初始条件（4），可知：00,0n D B ==。

由边界条件可知，00C =。

1(,)cos sinn n n at n x u x t C l l ππ∞==∑其解的形式可简化为：由边界条件（3），可得0000000()2()[sin sin ]x l n x F l x F l C d x d l T l T lξξξξξξ--=⋅+⋅⎰⎰利用分部积分，可求得：200002222221sin sin n F n x F l n x l C l T n l T n lππππ=⋅⋅=⋅所以，解为：00002222112211(,)sin cos sin sin cos sin n n F l n x F l n x n at n x n at n xu x t T n l l l T n l l l ππππππππ∞∞===⋅=∑∑4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动。

求解杆的纵振动。

解：泛定方程为：20(0)tt xx u a u x l -=<<边界条件是第二类边界条件：0,0xxx x lu u ====对于初始条件，我们认为当压缩时，两端的压缩量是一样的，均为ε，中点处的压缩为0。

这样，整个杆各截面的压缩量、初始速度可表示为：002(),02tt t lu x u ε===-=采用分离变数法求解，设(,)()()u x t X x T t =222221+0(0)()0X T X a TT a T X X X X l λλλ''''==-''⎧=⎪⎨''+=⎪⎩''==于是方程（）变为：边界条件为：X 的解形式为：()cos sin 0(0,1,2,3,X x A x B x n n lλλπλ=+===由边界条件可知：B …)于是方程的解可以写成：001(,)(cossin )cos n n n n at n at n xu x t C D t C D l l lπππ∞==+++∑ 由初始条件：002(),02tt t lu x u ε===-=可得：0101(,0)cos2()2(,0)cos 0n n t nn n x lu x C C x l n n x u x D D l lπεππ∞=∞==+=-=+=∑∑即有：0,(0,1,2,3,n D n ==…)000002002212()022222()cos 2cos 2cos 22412[sin ]()[sin cos ]821,0,1,2,3,(21)2,0,1,2,3,l l l l n l l lC x dx l l n x l n x n x C dx dx x dxl l l l l ll n x n x n x n x n l l n l l l l n k k k n k k επππεεεεππππεππεπ=-==-=-=-+⎧=+=⎪+=⎨⎪==⎩⎰⎰⎰⎰…0? 于是方程的解为：22081(21)(21)(,)cos cos (21)k lk at k xu x t k l lεπππ∞=++=+∑11、在矩形区域0<x<a ，0<y<b 上求解拉普拉斯方程Δu=0，使满足如下边界条件，其中A 、B 为常数。

00(),0;sin,x x a y y b u Ay b y u u B u aπ=====-===解：先将方程的边界条件变为齐次的，作如下变换：(,)(,)(,)u x y v x y w x y =+0;0xx yy xx yy v v w w +=+=其边界条件分别如下所示：(0,)0(,0)sin(,)0(,)0(0,)()(,0)0(,)0(,)0x v y v x B a v a y v x b w y Ay b y w x w a y w x b π⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩=-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 这样，就可以分别对v 、w 进行分离变数求解。

2(,)()()0cos sin ,(0)0,()00,sin 0()sin y yn nv x y X x Y y X Y X Y XY X YX A x B x Y Ce De X X a A B a n x a n X X x B aλλλλλλλπλπ-=''''''''+=⇒=-=-''+=+==''='==设，代入拉普拉斯方程，得：于是，可解得：＝由于：所以，有：＝则有：。

于是，的本征表达式写为：111111()(,)()sin(,0)()sinsin(,)()sin0,0(1)n y n y a an n n n y n y aan n n n n n n b n b aan n n n n n b n b a an n Y y C eD en x v x y C eD ean xx v x C D B aa n x v xb C eD eaC D B C D n C eD eBeC ππππππππππππ-∞-=∞=∞-=-=+=+=+==+=+=+=≠+=-=∑∑∑对于Y,其本征函数可写成：于是，于是，有：求得：1()(),2()2()()0(1)()[](,)[]sinsin2()()b b b a aabb a an n b b y b y aaaBe BeD bbsh sh e eaaC D n b y Bsh Bexx a v x y e ebb aash sh aaπππππππππππππππ---------==-==≠-=-=所以：对于w(x,y)的求解，方法同上，其解形式可设为：1(,)()sinn xn xbannn n yw x y C e D e bπππ∞-=''=+∑ 由边界条件确定其待定常数。