高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
（2）若能将x x 2+适当变形，用1+x 的式子表示就容易解决了。
（3）设xx 1+为一个整体，不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解。
（4）x ，x -同时使得)(x f 有意义，用x -代替x 建立关于)(x f ，)(x f -的两个程就行了。
【解题过程】⑴设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，由,2)0(=f 得2=c ， 由1)()1(-=-+x x f x f ，得恒等式12-=++x b a ax ，得23,21-==b a 。
故所求函数的解析式为22321)(2+-=x x x f 。
（2）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又)1(1)(,11,02≥-=∴≥+≥x x x f x x 。
（3）设1,11,1≠-==+t t x t x x 则， 则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x x x x x x x f t f 所以)1(1)(2≠+-=x x x x f 。
（4）因为3)(2)(3+=-+x x f x f ①用x -代替x 得3)(2)(3+-=+-x x f x f ②解①②式得53)(+=x x f 。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。
对于二次函数问题要注意一般式)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点式k h x a y +-=2)(和标根式))((21x x x x a y --=的选择；（2）已知)]([x g f 求)(x f 的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数程问题，需建立关于)(x f 的程组，如本例（4）。
若函数程中同时出现)(x f ，)1(x f ，则一般将式中的x 用x1代替，构造另一程。
特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域 二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例3.求34x y x +=-的定义域。
解：由题意知：204x x +>⎧⎪⎨≠⎪⎩，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为：{x|x>－2且x ≠±4}。
例2. 求下列函数的定义域： （1）35)(--=x xx f ； （2）x x x f -+-=11)( 【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。
【解题过程】（1）要使函数有意义，则⎩⎨⎧±≠≤⎩⎨⎧≠-≥-35,0305x x x x 即，在数轴上标出，即53,33,3≤<<<--<x x x 或或。
故函数的定义域为]5,3()3,3()3,( ---∞.当然也可表示为{}5x 3,33,3≤<<<--<或或x x x 。
（2）要使函数有意义，则1,11,0101=⎩⎨⎧≤≥⎩⎨⎧≥-≥-x x x x x 所以即，从而函数的定义域为{}1x |x =。
【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x 的围的交集，利用数轴可便于解决问题。
求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。
2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。
例3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （u ）的定义域可以确定函数g （x ）的围，从而解得x ∈I 1，又由g （x ）定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。
也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
()()(())f x g x y f gx ===例8 已知求的定义域.解：()3()33f x x g x =≥⇒≥⇒≥*由又由于x 2－4x ＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：99134499|1344x x x x x -+≤<<≤⎧-+⎪≤<<≤⎨⎪⎪⎩⎭或故所求定义域为或例9. 若函数f （2x）的定义域是［－1，1］，求f （log 2x ）的定义域。
解：由f （2x ）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x ≤2，所以f （x ）的定义域为［2－1，2］，故log 2x ∈［2－1，2］4x ≤≤，故定义域为4⎤⎦。
三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。
1、分离变量法例11. 求函数231x y x +=+的值域。
解：()2112312111x x y x x x +++===++++，因为101x ≠+，故y ≠2，所以值域为{y|y≠2}。
说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。
2、配法例12. 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域。
解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y ≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域。
类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c 。
3、判别式法例13. 求函数2223456x x y x x ++=++的值域。
解：2223456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0，由Δ≥0可解得：26267171y ⎡-+∈⎢⎣⎦。
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。
要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次程后，该程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。
4、单调性法 例14. 求函数23y x -=+，x ∈［4，5］的值域。
解：由于函数23y x -=+为增函数，故当x ＝4时，y min ＝25；当x ＝5时，y max ＝513，所以函数的值域为513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
5、换元法 例15.求函数2y x =+解：令0t =≥，则y ＝－2t 2＋4t ＋2＝－（t －1）2＋4，t ≥0，故所求值域为{y|y≤4}。
例3. 求下列函数的值域：（1）{}5,4,3,2,1,12∈+=x x y （2）1+=x y（3）2211xx y +-= （4）)25(,322-≤≤-+--=x x x y 【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数)(x f y =，其值域就是指集合{}A x ),x (f y y C ∈==；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。
【解题过程】（1）将，1x 2y 5,4,3,2,1x 中计算分别代入+==得出函数的值域为{}1,19,5,73，。
（2）11,0≥+∴≥x x ，即所求函数的值域为),1[+∞或用换元法，令)0(1),0(≥+=≥=t t y t x t 的值域为),1[+∞。
（3）<法一>∴++-=+-=,12111222xx x y 函数的定义域为R 。
]1,1(y ,2x 120,1x 122-∈∴≤+<∴≥+∴。
<法二>y x y x yx y x x y -=+⇒-=+⇒+-=1)1(11122222]1,1(,0112-∈≥+-=⇒y yyx 得到。
故所求函数的值域为（－1，1]。
（4）<构造法>114,25,4)1(3222-≤+≤-∴-≤≤-++-=+--=x x x x x y习题讲解：1.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2 答案:C.【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算.2.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞ 答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。