《确定一次函数的表达式》教案探究版教学目标知识与能力1．能通过函数图象获取信息，发展形象思维．2．能用待定系数法确定一次函数的表达式．3．初步体会方程与函数的关系．过程与方法1．通过函数图象获取信息，培养学生的数形结合意识．2．进一步体会数形结合思想，发展数形结合解决问题的能力．3．通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系，确定一次函数的表达式．情感、态度通过确定一次函数的表达式，培养学生的数学应用能力．教学重点确定一次函数的表达式．教学难点能根据一次函数的图象和其他一些情景，灵活地利用待定系数法，确定一次函数的表达式．教学过程一、问题导入我们来看一次函数y=2x+1的图像y一次函数从数的角度看是y=2x+1，从形的角度看是一条直线，不管怎样看，确定一次函数的表达式需要确定哪些基本量呢？二、探究新知某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示．（1）写出v与t之间的关系式；（2）下滑3s时物体的速度是多少？师引导：（1）观察函数图像可以确定这是那类函数的图像？（2）写出v与t之间的关系式，需要确定几个量？学生思考后回答，师点拨：正比例函数的表达式的确定只需要确定一个量k的值，就可以确定正比例函数的表达式．师板书：解：（1）设正比例函数的表达式为：v=kt ，由图像知当t=2时，v=5，所以：5=2kk =2.5．所以：v与t之间的关系式为v=2.5t．（2）下滑3s时：v=2.5tv =2.5×3=7.5所以下滑3s时物体的速度是7.5 m/s．想一想确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式呢？学生思考后回答，师总结．设计意图：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．想一想：你能否总结出求一次函数表达式的步骤．求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．2．根据已知条件列出有关方程．3．解方程．4．把求出的k ，b 值代回到表达式中即可．设计意图：对求一次函数表达式方法的归纳和提升．在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．三、典例精讲例1 在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米)是所挂物体的质量x (千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm ；当所挂物体的质量为3 kg 时，弹簧长16 cm ．写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4 kg 时弹簧的长度．解：设b kx y +=，根据题意，得14.5=b ， ①16=3k +b ，②将5.14=b 代入②，得5.0=k ．所以在弹性限度内，5.145.0+=x y ．当4=x 时，5.165.1445.0=+⨯=y （厘米）．即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米．变式训练：在弹性限度内，弹簧的长度y （厘米）是所挂物体的质量x （千克）的一次函数、当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y 与x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时的弹簧的长度． 设计意图：例题中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．教学注意事项：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．四、课堂练习1．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，求它的表达式．2．若一次函数b x y +=2的图象经过A （－1，1），则=b ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ ，0）．3．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，填空：（1）=b ，=k ；（2）当30=x 时，=y ；（3）当30=y 时，=x ．4．已知直线l 与直线x y 2-=平行，且与y 轴交于点（0，2），求直线l 的表达式．【答案】1．x y 3-=2．33(15)(0)2b B C =-，，，，． 3．（1）223b k ==-， ；（2）18-；（3）42-． 4．22+-=x y ．设计意图：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题4，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．五、课堂小结1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k，b 的值，从而确定函数解析式．其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；4．把k，b代回表达式中，写出表达式．2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．设计意图：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．六、布置作业1．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123，其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③2．如图，点A的坐标为（4，0），点P在第一象限且在直线x+y=6上．（1）设点P坐标为（x，y），写出△OP A的面积S与x之间的关系式（其中P点横坐标在O与A点之间变化）；（2）当S=10时，求点P坐标；（3）若△OP A是以OA为底边的等腰三角形，你能求出P 的坐标吗？若能，请求出坐标；若不能，请说明理由．3．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中放有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是 ；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）．【答案】1．A 【解析】 ∵乙出发时甲行了2秒，相距8m ，∴甲的速度为8÷2＝4m/s ．∵100秒后乙开始休息，∴乙的速度是500÷100＝5m/ s ，∵a 秒后甲乙相遇，∴a ＝8÷(5－4)＝8，即①正确；100秒后乙到达终点，甲走了，4×(100＋2)＝408米∴b ＝500－408＝92米即②正确甲走到终点一共需耗时500÷4＝125(秒)， ∴c ＝125－2＝123， 即③正确．故选A ．2．解：（1）．（2）P 点坐标为（1，5）．（3）P 点坐标为（2，4）．3．解：（1）乙 甲 铁块的高度（2）设线段AB 、DE 的解析式分别为：y 1=k 1x +b ，y 2=k 2x +b ，∵AB 经过点（0，2，）和（4，14），DC 经过（0，12）和（6，0），分别代入得b =12，k =-2，∴解析式为y =3x +2和y =－2x +12，122S x =-令3x +2=－2x +12，解得x =2，∴当注水2分钟时两个水槽中的水的深度相同．（3）由图象知：当水面没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm ，即1分钟上升3cm ， 当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm ，即1分钟上升2.5cm ，设铁块的底面积为x cm ，则3×（36－x ）=2.5×36，解得x =6，∴铁块的体积为：6×14=84(cm 3)．（4）60cm 2．七、课堂检测1．已知下列各点的坐标：M （－3，4），N （3，－2），P （1，－5），Q （2，－1），其中在直线y ＝－x ＋1的图象上的点有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个设计意图：考查如何判断一个点是否在函数图象上．2．有一游泳池已注满水，使用一段时间后把水排完清洗，然后再注满水使用，则池中存水量Q 随时间t 变化的大致图象是（ ）．设计意图：考查如何利用函数图象表现函数的增减性以及变化规律．3．下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）．设计意图：考查函数的概念．4．函数y ＝－3x －6中，当自变量x 增加1时，函数值y 就（ ）．A ．增加3B ．增加1C ．减少3D ．减少1设计意图：考查如何利用函数解析式表现函数的增减性以及变化规律．5．A 、B 两人在一次百米赛跑中的路程s (米)与赛跑的时间t （秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 2D C B A t Q Ot Q O t Q O O Q t D C B A O yx x y x y x y O O OA ．A 比B 先出发 B ．A 、B 两人的速度相同C ．A 先到达终点D ．B 比A 跑的路程多设计意图：考查如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题．6．某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t ，纵轴表示与山脚距离h ，那么下列四个图中反映全程h 与t 的关系图是（ ）．设计意图：考查如何利用函数图象表现函数的增减性以及变化规律．【答案】1．C ． 2．B ． 3．D ． 4．C ． 5．C ． 6．D ． BA O s (米)t (秒)hh h h t t t OO O t O A B C D。