第49页 习题1-5 1 计算下列极限
（1）225
lim 3
x x x →+-
将2x =代入到25
3x x +-中，由于解析式有意义，因此
222525
lim
9323x x x →++==--- （2
）2231
x x x -+
将x =223
1
x x -+中，解析式有意义，因此
()22
2
233
01
1
x x x --=
=++ （3）22121
lim 1
x x x x →-+-
将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()()()2
221111121
0lim
lim lim 011112
x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x
→-++
将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()()
22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x
x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2
2
lim
h x h x h
→+-
将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()2
2
2lim
lim
lim
22h h h x h x x h h x h x h
h
→→→+-+==+=
（6）211lim 2x x x →∞
⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭
由于lim 22x →∞
=，1lim 0x x →∞⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，22lim 0x x →∞⎛⎫
= ⎪⎝⎭
因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞
→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
+=+-+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（7）221
lim 21
x x x x →∞---
当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞
∞
型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2
x ，再利用极限四则运算法则，可知：
2
2
2
2221
1
1lim1lim
1101lim lim 1111
212002
2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x
x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-
---====-------- （8）242lim 31
x x x
x x →∞+-+
当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞
∞
型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4
x ，再利用极限四则运算法则，可知：
2
2323422424
1111lim lim 00lim lim 0113131100
13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+
（9）22468
lim 54
x x x x x →-+-+
4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422
lim lim lim 54141413
x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----
（10）211lim 12x x x →∞
⎛⎫⎛⎫
+
- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
由于1lim 11x x →∞
⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，21lim 22x x →∞⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 因此由极限四则运算法则可知
211lim 12x x x →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭=211lim 1lim 2122x x x x →∞→∞⎛⎫⎛
⎫+⋅-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （11）111lim 1 (242)
n n →∞
⎛⎫
+
+++ ⎪⎝
⎭
（等比数列求和公式为111n
n q S a q
-=⋅-，1a 为首项，q 为公比）
1
111111121 (1211242212)
n n n ++⎛⎫- ⎪
⎛
⎫⎝⎭++++=⋅
=⋅- ⎪⎝⎭
-
111111lim 1...lim 21lim 22242
22n n n n n n +→∞
→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
+++=⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
（12）2123...(1)lim n n n →∞++++-⎛⎫
⎪⎝⎭
（等差数列求和公式为()
12
n n n a a S +=
） ()2
11123...(1)22
n n n n +-++++-==
2
22123...(1)12lim lim 2n n n n n n →∞→∞++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭
（13）()()()3123lim 5n n n n n →∞+++⎛⎫
⎪⎝⎭
()()()31231123112311lim lim lim lim lim 11155555n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++⎛⎫++++++⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（14）311
3lim 11x x x →⎛⎫-
⎪--⎝
⎭
311
3lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭23113lim 1x x x x →⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭（通分） 231
2lim 1x x x x →⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭（整理） ()()()()()()212112lim 112lim 1313
x x x x x x x x x x →→⎛⎫
-+
⎪= ⎪-++⎝⎭⎛⎫
-+
⎪= ⎪++⎝⎭-==-（因式分解，消去公因子）
第二题 计算下列极限 1. ()
32
2
2
2lim
2x x x x →+-
由于()2
2
lim 20x x →-=，因此，该极限不能利用商的极限运算法则。

但由于()
()
2
2
232
32
2
2
lim 220
lim
02lim 288
x x x x x x x x x →→→--=
=
=+++ 因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：()
32
2
2
2lim
2x x x x →+=∞-
2. 2
lim 21
x x x →∞+ 由于()lim 21x x →∞
+不存在，因此该极限不能利用商的极限运算法则.
但由于2
22121
lim lim 01
x x x x x x →∞→∞++== 因此由无穷小与无穷大的关系定理可知： 2
lim
21
x x x →∞=∞+ 3. 3323110lim lim 011
2122x x x x x x x
→∞→∞===-+-+
因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：3
lim 21x x x →∞
-+=∞
第三题
1. 2
01lim sin
x x x
→
由于01
limsin x x
→不存在，因此不能利用乘积的极限运算法则。

但是20
lim 0x x →=，因此2
x 是0x →时的无穷小
又因为1
sin
1x
≤，是有界函数 因此由定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可知，
20
1lim sin
0x x x
→= 2. arctan lim
x x
x
→∞
由于lim arctan x x →∞
不存在，因此不能利用商的极限运算法则。

但是1lim
0x x →∞=，因此1
x
是x →∞时的无穷小 又因为arctan 2
x π
≤
，是有界函数
因此由定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可知，
arctan lim
0x x
x
→∞=。