上学期数学与统计学院数学类
一、判断题（15分，每小题3分）判断下列各题，请在正确的题后括号内打“√”，错误的题后括号内打“Х”。

（1）实数域上致密性定理与柯西收敛原理等价。

（ ） （2）若()f x 在[],a b 连续，则()f x 在[],a b 一致连续。

（ ）
（3）若级数1
n n u ∞
=∑收敛，则41
n n u ∞
=∑也收敛。

（ ）
（4）若(),f x y 在a x b ≤≤；d y c ≤≤上连续，则(),b
a
f x y dx ⎰在[c, d ]一致连续。

（ ）
（5）若函数序列(){}n S x 在区间(),a b 内闭一致收敛，则(){}n S x 在(),a b 一致收敛。

（ ） 二、填空题（15分，每小题3分）。

（1）()1lim 131n n n n →∞⎡⎤
⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
＝ 。

（2）已知级数()1
ln n
n x ∞
=∑收敛，则x 的取值范围为 。

（3）5
2
1cos lim 1sin y e y y y dx x y xy
→+++⎰
= 。

（4）30
1
..2
PV
dx x -⎰= 。

（5）将()2
x x
e e
f x -+=展开为x 的幂级数，则()f x = 。

三、计算题（共42分，每小题7分）。

(1)
242
x x
e
dx +∞-+⎰
（2）求积分()1
1sin ln 0ln b a
x x
dx
b a x x
-⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎰。

（3）设()22
1sin 1()1
y y y x F y dx x ++⎡⎤⎣⎦
=+⎰
，求微分dF 。

（4）判断正项级数()
21
1
1
212n n n ∞
-=-∑
的敛散性。

（5）判别广义积分0
1
x
dx x e
+∞⎰
的敛散性。

（6）判别含参变量广义积分()10
ln xy dx ⎰在1
,
33
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的一致收敛性。

四、综合应用题（7分） 将()21f x x =-在[]0,π上展开成余弦级数，给出展开的富里埃级数在[]0,π的收敛函数，并由此求级数()
1
2
11n n n -∞
=-∑
的和。

五、证明题（21分，每小题7分）
（1）设()f x 在[],a b 上连续，又有{}[],n x a b ⊂，使()lim n n f x A →∞
=。

证明：存在[]0,x a b ∈，
使得()0f x A =。

（2）证明函数()()
1ln 1n
n n x f x n x
∞
=+=∑
在[)2,+∞上连续。

（3）设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数，1
1()(),1,2,n
n k k f x f x n n n ==
+=∑，证明：函数
列{()}n f x 在任意有限闭区间上一致收敛。