二、（15 分）设 是不为 1 的 5 次单位根，证明：行列式
4 4 4 4
3 3 3 4 3
D
125
2 2 4 2 2
4
三、（20 分）设 f (x1, x2,..., xn) X AX 是一实二次型，若有实 n 维向量 X1, X2 使
X1AX1 0, X2 AX2 0 ，
六、（20 分）设 f (x1, x2, x3, x4) 2x1x2 2x1x3 4x1x4 2x2x3 ，试分别在实数域上和复数
域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 , E A 为正定矩阵
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云南大学 2004 年硕士研究生入学考试试题 （答案必须写在答题纸上）
六、（15 分）将函数 f (x) ln(4x x2) 在 x 1 处展开为幂级数，并求出其收敛域。
七、（20
分）设
x3
f
( y,
y ) ，其中 x
f
具有连续的二阶偏导数，求
x
, y
,
2 y2
, 2 xy
八、（15 分）设 xi 0 (i 1, 2,..., n) ，且 x1 x2 ... xn a ，求函数 n x1x2...xn 的最
(II) :1,2,3,4;
(III
)
:
1
,2
,3
,
1 5
假设秩 (I ) =秩 (II ) =3，秩 (III ) =4。证明：向量组 (IV ) :1,2 ,3 ,5 4 的秩为 4。
七、（20 分）设 f (x1, x2,..., xn) 和 g(x1, x2,..., xn) 为两个实二次型，f (x1, x2,..., xn) 正定。
三、（10 分）求证不等式 sin x x , x (0, )
x tan x
2
四、（15
分）设
y
y(x)
是由方程组
x 3t
e
y
sin
2
t
2t 3 y 1
0
所确定的隐函数，求微分 dy
t 0
和 d 2 y t0
研 五、（15 分）设函数 f (x) 在[a,b]上连续，在 (a,b) 内二阶可导，弦 考 AB(A(a, f (a)), B(b, f (b))) 与曲线 y f (x) 相交于点 C(c, f (c)),c (a,b) 。证明：在 学长 (a,b) 内至少存在一点 ，使得 f n() 0
三、（20 分）计算行列式
an (a 1)n ... ... (a n)n
an1 (a 1)n1 ... ... (a n)n1
... a
研 1
... ... ... ... a 1 ... ... a n
1 ... ... 1
x y z 1
考 四、（30 分）解线性方程组： ax by cz d a2x b2 y c2z d 2
研 证明：必存在实 n 维向量 X0 0 使 X0AX0 0 考 四、（20 分）设1,2,3,4 是 4 维线性空间V 的一组基，已知线性变换T 在这组基下 长 的矩阵为
学 1 0 2 1
1
2
1
ห้องสมุดไป่ตู้3
1 2 5 5
2
2 2 2
（1）求T 在1 1 2,2 2,3 3 4,4 4 下的矩阵 B ；
（2）求T 的核和值域；
（3）若线性变换 T
，有 T
1
(0)
0
，问 T 1
是否为可逆变换？为什么？
五、（20 分）已知 a 0 ，用非退化的线性变换化二次型
为标准性。
f (x1, x2, x3) ax1x2 bx1x3 cx2x3
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六、（20 分）已知向量组 (I ) : 1 , 2 , 3 ;
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析 A 卷
1
一、（20
分）已知
f
(x)
a1x
a2x ... n
an x
x
，其中
a1, a2,..., an
为n
个正实数，求极
限（1） lim f (x) ；（2） lim f (x)
x0
x
二、（10 分）证明：函数 f (x) ex cos 1 在 (0,1) 内非一致连续。 x
x2
y2
z2
R2
，从
x
轴正向看去，
L
为逆时针方向
x y z 0
学长考研
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云南大学 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
（考生注意：答案必须写在答题纸上）
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：高等代数 A 卷 考试科目代码：335
一、（15 分）试判断：x 2 为多项式 f (x) x5 6x4 11x3 2x2 12x 8的几重根， 为什么？
大值，并证明不等式 n
x1x2...xn
x1 x2
... n
xn
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九、（15 分）计算积分 [(z y)2 ( y x)2 (x z)2]dxdydz ，其中区域V 由不等式 V x2 y2 z 1表示
十、（15 分）计算积分 I (y 1)dx (z 2)dy (x 3)dz ，其中 L 为圆周 L
学长 五、（30 分）令V 为数域 P 上一 n 维线性空间， A 是V 上的线性变换，且在 P 中有 n 个不
同的特征根 1,2,...,n, V 。证明：, A, A2,..., An1 线性无关的充分必要条件是
n
i ，其中i 是 A 相应于 i 的特征向量， i 1, 2,..., n t 1
云南大学考研真题---数学专业
（适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、系统理论、运筹学与控制论）
学长考研
云南大学 2004 年硕士研究生入学考试试题 （答案必须写在答题纸上）
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：高等代数 A 卷
一、（20 分）令 S 是一些 n 阶方阵组成的集合，关于任意 A, B S ， AB S ，且
(AB)3 BA. 证明： (A, B S)AB BA
二、（20 分）设 f (x), g(x), h(x) 为实系数多项式，它们适合下列关系：
(x2 1)h(x) (x 1) f (x) (x 2)g(x) 0
(
x2
1)h(
x)
(
x
1)
f
(
x)
(
x
2)
g
(
x)
0
证明： f (x), g(x) 都能被 x2 1整除