第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。

如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。

如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ⋅====⋅===⋅===⋅==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩式中，常数0X σ>，求期望()E X 和方差()D X 。

考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=⋅=-=-=-⇒=⋅⎰⎰⎰6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。

考察随机变量函数的数字特征思路： 协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅ 相关系数：22()()()()()()2(,)XY E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abCov X Y ρ=+=++=++()6()5()76()52(,)40E U E V D U D V Cov U V ==-===-11、设随机变量X 的均值为3，方差为2。

令新的随机变量622Y X =-+，问：随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？ 考察正交、不相关的概念()0E XY =⎧⎨≠⎩ 0正交，非0不正交XY ρ=⎧⎨≠⎩ 0不相关，非0相关 ()0E XY = 正交 (,)0Cov X Y ≠ 相关以上四题都是概率论的标准题。

第二章1、已知随机信号0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布，求0020,,33t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度函数。

解：002200[()][cos ]cos []()[()][cos ]cos []x Xm E X t E A t t E A t D X t D A t t D A ωωσωω===⋅===⋅A 服从标准高斯分布022200[]0,[]1[]cos 0()[]cos cos x X E A D A m E A t t D A t tωσωω∴==∴=⋅==⋅=∴一维高斯概率密度函数22220[()]2cos 2()(,)x X x m t x tt x f x t ωσ---==①当0t =时，22(;0)x x f x -=②当03t πω=时，220(;)3x x f x πω-= ③当023t πω=时，2202(;)3x x f x πω-=3、随机变量X 与Y 相互统计独立，并且服从2(0,)N σ分布。

它们构成随机信号()X t XYt =，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数(;)x f x t ；(2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。

解：（1）,X Y 服从2(0,)N σ分布 且()X t X Yt =+()X t ∴也服从正态分布[()][][][]0[()][]E X t E X Yt E X tE Y D X t D X Yt ∴=+=+==+,X Y 相互统计独立()22222221[()][][][](1)(;)x t x D X t D X Yt D X t D Y t f x t σρ-+∴=+=+=+∴=（2）t 时刻，随机变量是高斯分布22[()]0[()](1)E X t D X t t σ==+∴其均值为0，方差为22(1)t σ+4、假定随机正弦幅度信号0()cos()X t A t ωθ=+，其中频率0ω和相位θ为常数，幅度A 是一个服从[]0,1均匀分布的随机变量，试求t 时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。

解：t 时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为[()]D X t0[()][cos()]D X t D A t ωθ=⋅+频率0ω和相位θ为常数200[cos()]cos ()[]D A t t D A ωθωθ∴⋅+=+⋅A 服从[0,1]均匀分布1,01()0,A a f a other<<⎧∴=⎨⎩ 211222201[][][][]121[]121[()]cos ()12D AE A E A a da a da D A D X t t ωθ∴=-=-⋅=∴=∴=+⎰⎰5、已知随机信号()X t 的均值为()X m t ，协方差函数为12(,)X C t t ，又知道()f t 是确定的时间函数。

试求随机信号()()()Y t X t f t =+的均值以及协方差。

解：[()][()()][()][()]E Y t E X t f t E X t E f t =+=+()f t 是确定信号12121211221212121211221212[()]()()(,)[()()][()][()][()()][()()][()()()()()()()()][()()][()()][()()]()[()](X X E Y t m t f t C t t E Y t Y t E Y t E Y t E X t f t E X t f t E X t X t X t f t f t X t f t f t E X t f t E X t f t E X t X t f t E X t f t ∴=+=⋅-⋅=+⋅+=+++-+⋅+=++211212************)[()]()()[()][()]()[()]()[()]()()[()()][()][()](,)X E X t f t f t E X t E X t f t E X t f t E X t f t f t E X t X t E X t E X t C t t +-⋅---=-= ()Y t ∴的均值为()()X m t f t +其协方差为：12(,)X C t t9、设接收机中频放大器的输出随机信号为()()()X t s t N t =+，其中()N t 是均值为零，方差为2σ的高斯噪声随机信号，而00()cos()s t t ωθ=+为确知信号，求随机信号()X t 在任意时刻1t 的一维概率密度函数。

解：()()()()()()X t S t N t N t X t S t =+=-00()cos()S t t ωθ=+是确知信号[()][()()]()[()]E X t E S t N t S t E N t ∴=+=+()N t 服从均值为0，方差为2nσ的高斯分布2002002[cos()]2[()]0[()]()cos()[()][()()][()](,)nn x t X E X t E X t S t t D X t D S t N t D N t f x t ωθσωθσ-+-∴=∴==+=+==∴=第三章3、设()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号。

求证由它们的乘积构成的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。

证：()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号∴1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]XX X X X E X t m R t t E X t X t R t t E X t D X t ττϕσ====-==同理1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]YY Y YY E Y t m R t t E Y t Y t R t t E Y t D Y t ττϕσ====-==1212112212121212121221()()()[()][()()][()][()](,)[()()][()()()()][()()()()][()()][()()](,)(,)()(),||[X Y Z X Y X Y Z t X t Y t E Z t E X t Y t E X t E Y t m m R t t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X t E Y t Y t R t t R t t R R t t E Z τττ===⋅=⋅==⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=-2222222222222()][()()][()][()][()][()()][()][()]X Y X Y X Yt E X t Y t E X t E Y t D Z t D X t Y t E Z t E Z t m m ϕϕϕϕ=⋅=⋅=⋅<∞=⋅=-=⋅-⋅由平稳条件可知()()()Z t X t Y t =也是平稳的随机信号8、设随机信号00()()cos ()sin Z t X t t Y t t ωω=-，其中0ω为常数，()X t 、()Y t 为平稳信号。

试求：(1)()Z t 的自相关函数(,)Z R t t τ+；(2)若()()X Y R R ττ=，()0XY R τ=，求(,)Z R t t τ+。

解： (1)()X t ，()Y t 是平稳的随机信号000000000000(,)[()()][(()cos ()sin )(()cos ()()sin ())][()()cos cos ()()()cos sin ()()()sin cos ()()()sin ()sin ]c Z R t t E Z t Z t E X t t Y t t X t t Y t t E X t X t t t X t Y t t t X t Y t t t Y t Y t t t ττωωτωττωττωωττωωττωωττωτω+=⋅+=-⋅++-++=++-++-+++++=00000000os cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin ()sin ()X XY YX Y t t R t t R t t R t tR ωωττωωττωωττωτωτ+-+-+++(2)000000000()(),()0()()()()()()()()(,)0(,)cos cos ()()sin sin ()()()[cos cos ()sin sin ()]()cos X Y XY YX z X Y X X R R R X t Y t Y t Y t X t Y t Y t X t R t R t t t R t t R R t t t t R τττττττττττωωττωωτττωωτωωττωτ==∴⋅+=⋅+∴⋅+=⋅+∴+=∴+=+++=+++=11、已知随机信号()sin cos X t A t B t =+，式中，A 与B 为彼此独立的零均值随机变量。