绝对值几何意义应用
绝对值几何意义应用
一、几何意义类型：
类型一、0-=a a ：表示数轴上的点a 到原点0的距离； 类型二、
a
b b a -=-：表示数轴上的点a 到点b 的距离（或
点b 到点a 的距离）；
类型三、)(b a b a --=+)(a b --=：表示数轴上的点a 到点b -的距离（点b 到点a -的距离）；
类型四、a x -：表示数轴上的点x 到点a 的距离； 类型五、)(a x a x --=+：表示数轴上的点x 到点a -的距离. 二、例题应用：
例1.（1）、4-x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示
的点之间的距离，若4-x =2，则
=
x .
（2）、3+x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若13=+x ，则
=
x .
（3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m 、n 、p 、q.若15=-q m ，
8
10=-=-m p n q ，，则=-p n ;若15=-q m ，
，，q n n p m p -=
-=-3
1
8
则=-p n .
的几何意义得;
③已知4
+
-x
x，利用绝对值在数轴上
+
3=
2
的几何意义得;
拓展：若8
1
+a
a，则整数a的个数是
-
+
2=
2
7
4 .
④当x满足条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义2
3+
-x
x取得最小值，
+
这个最小值是.
由上题③图可知，5
+x
+
x，故而当
-
3
2≥≤
-x时，最小值是5.
3
2≤
⑤若a
-2
+
3时，探究a为何值，方程有
x=
x
+
解？无实数解？
档案：5≥a ；a <5.
特别要注意的是：当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时，都有523=++-x x .
例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a <5.
②若23++-x x <a 无实数解，则a 满足什么条件？答案：a ≤5.
③若23+--x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a ＜5-.
由上图当x ≤2-时，
2
3+--x x 5=；当x ≥3时，
23+--x x 5
-=；当2-＜x ＜3，
5
-＜23+--x x ＜5，所以5-≤23+--x x ≤5.则a
＜5-.
④若23+--x x <a 时，则a 满足什么条件？答案：a >5.
拓展应用：已知()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，求z
y x 32++
的最大值和最小值.
解析：321≥-++x x Θ，312≥++-y y ，13++-z z 4≥ ()()()36131221≥++-++--++∴z z y y x x ， 321=-++∴x x ，312=++-y y ，413=++-z z
312121≤≤-≤≤-≤≤-∴z y x ，，
933422≤≤-≤≤-∴z y ，
15326≤++≤-∴y y x . （3）、当x 满足 条件时，312-+-++x x x 取最小值，这个最小值是 .
由以上图形可知：当x = 1 时，312-+-++x x x 5=，其他范围内312-+-++x x x ﹥5，
故而312-+-++x x x 5≥，这个最小值是 5 . （4）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 取最小值，这个最小值是 .
由以上图形可知：当 31≤≤x 时，5312-+-+-++x x x x 11=，
其他范围内
5
312-+-+-++x x x x ﹥11，故而
5312-+-+-++x x x x 11
≥，这个最小值是 11 .
特别要注意的是：当x 在31≤≤x 这个范围内任取一个数时，都有5312-+-+-++x x x x 11=.
（5）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 取最小值，
这个最小值是 .
由以上图形可知：当
x
= 3 时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 13=，其他范围内
5
312-+-+-++x x x x 7
-+x ﹥
13
，
故
而
5312-+-+-++x x x x 7-+x 13
≥，
这个最小值是 13. （6）、当
x
满足 条件时，
5312-+-+-++x x x x 7-+x 8
-+x 取最小值，
这个最小值是 .
由
以上图形可知：
当
5
3≤≤x 时，
5
312-+-+-++x x x x 7
-+x 8
-+x 18
=，其他范围内
5312-+-+-++x x x x 7-+x 8
-+x ﹥18，
故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x 18≥，这个最小值是 18.
小结：有1a ，2a ，3a ，…，12+n a （12+n ）个正数，且 满足1a ＜2
a ＜3
a ＜…＜1
2+n a .
1.求1
2321
+-++-+-+-n a x a x a x a
x Λ的最小值，以及取得这个最
小值
所对应的x 的值或范围；
答案是：当 x = 1+n a 时，12321+-++-+-+-n a x a x a x a x Λ取得最小值，
这个最小值是121312111+++++-++-+-+-n n n n n a a a a a a a a Λ.
2.求n
a x a x a x a
x 2321
-++-+-+-Λ的最小值，以及取得这个最小
值
所对应的x 的值或范围； 答案是：当1+≤≤n n a x a 时，n
a x a x a x a x 2321-++-+-+-Λ取得最小值， 这个最小值是n
n n n n a a a a a a a a 2321-++-+-+-Λ或者
n
n n n n a a a a a a a a 21312111-++-+-+-++++Λ.
三、判断方程根的个数
例3、方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．
A.．4； B． 3；C． 2；D．1
解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x ＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．
四、综合应用
例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．
解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，
∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，而|x＋2|+|x －1|+|y－5|+|y+1|＝9，
∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，
故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．
五、练习巩固
1、若a＜b＜c＜d，问当x满足条件时，
+
-
-
x-
-取得最小值.
+
+
c
x
x
b
d
x
a
2、若a＜b＜c＜d＜e，问当x满足条件时，
+
+
-
-
+
x-
-e
+
a
x-
d
c
x
x
b
x
取得最小值.
3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中
A、B、C、D、F、G、H、K 到城市的距
离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄E正好是AK的中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
4、设x是实数，1
=x
x
y下列四个结论：
-
1+
+
①.y没有最小值；②.只有一个x使y取到最小值；
③.有有限多个x(不只一个)使y取到最小值；
④.有无穷多个x使y取到最小值。

其中正确的是( )．
A．①B．②C．③D．④
5、试求2003
-x
+
xΛ的最小值.
-
x
x
+
2
3
+
1-
+
-。