在定义基的过程中我们只是用到了集族的并运算,如果再考虑集 合的有限交运算,便得到“子基”这个概念． 定义 2.6.2 设 X , 是一个拓扑空间, 是 的一个子族．如果
的 所 有 非 空 有 限 子 族 之 交 构 成 的 集 族 , 即
S1 S2 Sn Si , i 1, 2, , n; n
xi A x ）,并且收敛于 x ,则 x 是集合 A 的一个凝聚点．
关于闭包,内部,边界之间存在着的种种联系 ,我们列举一部分如 下： 定理 2.5.6 设 X 是一个拓扑空间 A X 则
A A' o ' Ao
A
Ao A'' A A
A A
作业：P81 1、2（1）
A' Ao
A' o A'

xi x, i ,则 lim xi x ;
i
（2） 如果序列 xi i 收敛于 x X ,则序列 xi i 的每一个子序列

也收敛于 x .
定理 2.7.2

设 X 是一个拓扑空间 , A X , x X .如果有一个
序 列 xi i 在 A x 中 （ 此 意 即 , 对 于 每 一 个 i 有
定理 2.6.7 设 X 是一个拓扑空间, x X , 则 （1） 如果 是 X 的一个基,则
x B x B
是点 x 的一个邻域基； （2） 如果 是 X 的一个子基,则
x S x S
是点 x 的一个邻域子基． 作业：P90 2
§2.7 拓扑空间中的序列

敛于 x 记作
lim xi x 或 xi x i ．
i
如果序列至少有一个极限,则称这个序列是一个收敛序列．
问题：拓扑空间中的收敛序列的极限是否唯一？
考查有限补空间和可数补空间。
定义 2.7.3 设 X 是一个拓扑空间, S , S1 : X 是 X 中的两个 序列．如果存在一个严格递增的映射 N : （即对于任意
是拓扑 的一个基,则称集族 是拓扑 的一个子基,或称集族 是拓 扑空间 X 的一个子基.
定 理 2.6.4 设 X 是 一 个 集 合 , 是 X 的 一 个 子 集 族 , 若
X
S
S ,则 X 有唯一的一个拓扑 以 为子基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ并且若令
S2 Sn Si , i 1, 2, , n; n
xi i

简化为 xi ,但这时要警惕不要与单点集相混．
定义 2.7.2 设 xi i 是拓扑空间 X 中的一个序列, x X ． 如果

对于 x 的每一个邻域 U ,存在 M 使得当 i M 时有 xi U ,则称 点 x 是序列 xi i 的一个极限点（或极限） ,也称为序列 xi i 收
O
定理 2.5.1 设 X 是一个拓扑空间， A X ，则 Ao A'' ．因此
A A' o ' .
定理 2.5.2 拓扑空间 X 的子集 A 是开 集的充分必要条件是
A Ao ．
定理 2.5.3 设 X 是一个拓扑空间，则对于任意有 A, B X 有 （1） X X ；
定理 2.6.1 一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个 度量空间作为拓扑空间时的一个基． 特别地，由于实数空间 R 中所有开区间构成的族是它的所有球 形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间 R 的一个基.
下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提 供了一个易于验证的条件． 定理 2.6.2 设 是拓扑空间 X , 的一个开集族,则 是拓扑空 间 X 的一个基当且仅当对于每一个 x X 和 x 的每一个邻域 U x ,存 在 Vx 使得 x Vx U x .
'
§2.6 基与子基
定义 2.6.1 设 X , 是一个拓扑空间, 是 的一个子族． 如果 中的每一个元素是 中某些元素的并 , 即对于每一个 U , 存在
1 使得 U
空间 X 的一个基．
B1
B ,则称 是拓扑 的一个基 ,或称 是拓扑
定理 2.6.1 一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个 度量空间作为拓扑空间时的一个基.
S1
则
1 B1
映射的连续性可以通过基或子基来验证．一般说来,基或子基不 大于拓扑的基数,所以通过基或子基来验证映射的连续性,有时可能会 带来很大的方便． 定理 2.6.5 设 X 和 Y 是两个拓扑空间 f : X Y ．则以下条件 等价： （1）
定义 2.7.1 设 X 是一个拓扑空间．每一个映射 S : X 叫做
X 中的一个序列．我们常将序列 S 记作 xi i 或者 xi i 1,2, , 或者

干 脆 记 作 x1 , x2 ,
． 其 中 xi S i , i . 有 时 我 们 也 将 记 号
§2.5 内部，边界
在前一节中我们讨论了在拓扑空间中由一个给定集合如何引出 一些与之密切相关的集合，如导集，闭包等．本节继续这个话题． 定义 2.5.1 设 X 是一个拓扑空间， A X ．如果 A 是点 x X 的一个邻域， 即存在 X 中的一个开集 V 使得 x V A ， 则称点 x 是 集合 A 的一个内点．集合 A 的所有内点构成的集合称为集合 A 的内 部，记作 A ．
f 连续；
（2） 拓 扑 空 间 Y 有 一 个 基 , 使 得 对 于 任 何 一 个 B , 原 像
f 1 B 是 X 中的一个开集；
（3） Y 有一个子基 ， 使得对于任何一个 S ， 原像 f
1
S 是
X 中的一个开集.
定义 2.6.3 设 X 是一个拓扑空间 , x X . 记
B
即集合 A 的内部等于包含于 A 的所有开集之并． 定义 2.5.2 设 X 是一个拓扑空间, A X ．点 x X ,如果满足 条件：在 x 的任何一个领域 U 中既有 A 中的点又有 A 中的点 ,既有
U
A 又有 U
A ,则称 x 是集合 A 的一个边界点．集合
A 的全体边界点构成的集合称为集合 A 的边界,记作 A ．
1
W2
Wn Wi wx , i 1, 2,
n; n Z
是 x 的一个邻域基 ,则 wx 称是点 x 的邻域系的一个子基 ,或简称为点
x 的一个邻域子基．
定理 2.6.6 设 X 和 Y 是两个拓扑空间, f : X Y , x X , 则以下条件等价： （1） （2）
f 在点 x 处连续；
f x 有 一 个 邻 域 基 v f x , 使 得 对 于 任 何 V v f x , 原 像
f 1 V 是 x 的一个邻域；
（3）
f x 有一个邻域子基 w f x , 使得对于任何 W w f x , 原像 f 1 W 是 x 的一个邻域．
n1 , n2 ,如果 n1 n2 ,则有 N n1 N n2 ）,使得 S1 S N ,则
称序列 S1 是序列 S 的一个子序列．
定理 2.7.1 设 xi i 是拓扑空间 X 中的一个序列．则

（ 1 ） 如 果 xi i 是 一 个 常 值 序 列 , 即 对 于 某 一 个 x X 有
u x 为 x 的邻域
系．u x 的子族 vx 如果满足条件： 对于每一个使得 U ux ,存在 V vx 使得 V U ，则称 vx 是点 x 的邻域系的一个基，获简称为点 x 的一 个邻域基. u x 的子族 wx 如果满足条件：wx 每一个有限非空子族之交 的全体构成的集族,即
W
o
（2） A A ；
o
（3） A （4） A
oo
B Ao
o
Bo ；
Ao ．
定理 2.5.4 拓扑空间 X 的任何一个子集 A 的内部 Ao 都是开集． 定理 2.5.5 设 X 是一个拓扑空间, 是 X 的拓扑,则对于 X 的每 一个子集 A ,有
Ao
B , B A