d d ＝ 2 sin d 2 sin d
单位时间内面积强度 的粒子束被散射到立体角d 的几率为
2 d ，因此
其中
2d
d
sin d
称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个
粒子被散射到 ~
单位立体角内的几率。根据 Coulomb 散射公
式
d
/
1
0
d
2 sin /2
8
而几率总是正的，因此要取绝对值。得到碰撞（散射）微分截面
，
1
2
2
，
1
2
exp
sin d
1.3 小角度碰撞为主
两个带电粒子相碰，不能完全代表真正等离子体中带电粒子弹性 碰撞的全部性质，最重要的是等离子体中带电粒子间的碰撞实际上是
1卢瑟福原始论文发表的期刊是：The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom, Philosophical Magazine, volume 21 1911 , pages 669‐688.
为简单起见，设每次碰撞的相对速度都只有 分量，因此碰撞前总有
∆
∆
0，显然这是因为散射过程关于 方向是各向同性的，
∆ ，∆ 的正值与负值一样多，对粒子路径求平均，∆
∆
0，但是 ∆ ， ∆ 一般未必是零。
图 分析 Coulomb 碰撞的坐标系
对于单一碰撞，可以定义
∆
∆
∆
12
则有
4/
∆
sin 4 sin cos
9
多体的．由于带电粒子间屏蔽库仑作用力程
粒子间距 ，在
Debye 球内的带电被子数
1．这样，当跟踪其一个特定
的粒子 检验粒子 时，在任何时刻都会有 个其它粒子 场粒子 和它
同时发生碰撞相互作用．与此同时，这 个粒子彼此也都在碰撞着，
因此在碰撞后，不但入射粒子的状态改变了，而且其它几个粒子也都
改变了状态．所以这是一个多体碰撞问题，严格的三体问题在数学上
1.1 两体碰撞问题 ............................................................................. 3 1.2 Coulomb 碰撞 .............................................................................. 5 1.3 小角度碰撞为主 ......................................................................... 9 §2 碰撞算子 .......................................................................................... 14 2.1 Boltzmann 方程......................................................................... 15 2.2 Landau 方程............................................................................... 17 2.3 Fokker‐Planck 方程................................................................... 22 §3 BBGKY 理论 ...................................................................................... 26 3.1 BBGKY 级次方程组 ................................................................... 27 3.2 单粒子和两粒子 ....................................................................... 32 3.3 无磁场的 Landau 方程............................................................. 36 附录 A：Brown 运动............................................................................. 43
不失一般性，设电子以速度 沿 方向入射平均数密度 的等离子 体中，遇到一系列随机小角度碰撞，单位路径长度平均 次
2d
11
其中 是最大碰撞参数。引入最大碰撞参数是为了避免涉及 Coulomb 力的发散困难。经过 次碰撞，电子获得横向速度∆ ，分 量为
∆
∆ ，∆
∆
其中
∆
sin cos ，∆
sin sin
1时，场粒子可以具有粒子可能占
有的几乎所有状态 动量，能量，位置 ，它们之间的紧密的相互作用
已经使得场粒子总体上达到相对稳定。即在碰撞前后，从每一个粒子
来看其状态虽然会有改变，但总的状态基本上没有变化，或者变化得
很少．因此在讨论检验粒子和几个粒子的多体相互作用时，场粒子间
的相互作用可以忽略不计，只考虑它们中的每一个和场粒子的相互作
/
1 ＝1
4 sin /2 4
这就是著名的 Rutherford 公式1。
1 sin /2
在等离子体中，如果考虑电荷的屏蔽效应，那么一个带电粒子受
到其他带电粒子的作用不是 Coulomb 势，而是 Debye 势
1
4
exp
可以求得 Debye 势的碰撞（散射）微分截面为
其中 计算时用到积分公式
/
1
4 sin /2
2
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。 为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。 等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程 相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以 用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式 各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别 开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等 离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
用。接着考虑到在非相对论极限下每个场粒子和检验子内相互作用都
是两体屏蔽 Coulomb 作用，因此可以把一个多体碰撞近似地看成是 许多同时发生的两体碰撞的简单叠加。
现在来看第二个近似．由于
1，上面所说的对 体碰撞实
10
际上可以认为基本上遍历了一个粒子和它的 Debye 球内其它粒子所 有可能的两体碰撞事件，而与检验粒子的初始条件关系不大．这样 对两体碰撞的迭加效果可以近似地由一对两体碰撞的所有可能状态 组成的系综平均来描述．但是，如果真用统计平均的方法来求 对 两体碰撞迭加会引起许多数学处理的困难．。根据等离于体中粒子碰 撞的特点，采取了一个与统计物理相似但完全相反的处理方法，即把 在同一时刻对两体碰撞系综的平均变成在一个宏观短微观长的时间 间隔中，对一系列时间相继但历经了各种可能状态的两体碰撞取时间 平均，从而在每一个特定时刻，只需要处理一对两体碰撞问题，不但 大大简化了数学计算，并且增加了物理上的透明度。
等离子体物理学讲义
No. 12
马石庄
2011．04．13．北京
1
第 12 讲 碰撞算子与 BBGKY 理论
教学目的：等离子体的性质是大量带电粒子同时相互作用的外在表现。 动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型，适用于完全电离等离子 体的 Fokker－Planck 微分碰撞算子，适用于弱电离等离子体的 Boltzmann 积分碰撞算子及 Landau 碰撞算子，BBGKY 理论则提供了 解决问题的数学理论框架。 主要内容： §1. Coulomb 散射 .................................................................................... 3
ln Λ
其中 Λ 12
成为等离子体常数，ln Λ介于 10 到 40 之间。 基于以上分析，可以估计产生90°的偏转的多次小角度碰撞的平
均自由程 ，满足
13
∆ Δ
即
1
8
ln Λ
而对于单一大角度90°散射而言，平均自由程 为
1
1
因此，单一大角度碰撞和多次小角度碰撞产生90°反射的相对重要性 为
8 ln Λ
上面所说的第二步替代要成为合理的，除了已提及的条件外，还 要求检验粒子的动量在 因碰撞 发生显著变化之前，应该经历足够多 次，例如有 的量级的两体碰撞，使得入射粒子在这段时间内能经 受几乎所有可能类型的两体碰撞，这样对时间平均才大致能和对系综 平均相同．在等离子体中，一般把入射粒子的初始动量由于碰撞而偏 离原方向90°当成其动量发生显著变化的标志．在完全电离的等离子 体中，电子可以发生大于90°的偏转，一次散射是大量小角度散射累 积的结果。下面可以证明，后者比前者更为重要。
§1. Coulomb 散射
在完全电离的等离子体中，一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一 次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果，为此要研 究带电粒子之间的 Coulomb 碰撞，阐述 Coulomb 散射动力学，
1.1 两体碰撞问题
设两个质量分别为 ， 的粒子受到相互向心力
作用发
生碰撞，碰撞前，粒子的速度分别为 ， ，相对速度为
/
得到 Coulomb 散射公式