环型磁场没有径向分量，磁力线必须分布在同一个圆柱面上。 角向型磁场
1
1
00
0
1
8
由于轴对称 0，环型磁场为
角向磁场为
在环型约束位形中，取 沿 方向。 1 00
在天体物理和空间物理学中，选取 沿球位形的径向 ，在球坐标
系 ， ， 中，取 环型磁场
，任意矢量 的旋度为
sin 1
sin
sin
1
sin
1
sin
在环形约束中，在柱坐标系中 ， ， 中，定义磁面为 ，如 图 7.1，在轴对称系统中
11
，
磁场的分量为
图 7.1 磁面
和电流
， 因此， 也称作磁通量函数。由关系式 ·
0，得到
0 压强 因此也只是 的函数
类似地，由关系式 ·
0和
，得到
0 意味着压强 因此也只是 的函数
其中 是穿过圆截面 得到 的方程
在等离子体波的分析中，假定了一个未扰动态，它是一种理想 的热力学平衡：粒子具有 Maxwell 速度分布，密度和磁场是均匀的．在
4
这样一种熵最大的状态中、不存在用来激发波的自由能。现在，必须 考虑由外部方法激发的波．考虑不处于理想热力学平衡的状态，在所 有力抵消以及可能存在与时间无关的解的意义上，虽然它们是处于平 衡的．可利用的自由能引起波的自激发。因此平衡是一种不稳定的平 衡．不稳定性总是一种减少白由能的运动，并且使等离子体更接近于 真实的热力学平衡。不稳定性可以按照用来驱动它的自由能类型来分 类．有四种主要类型的不稳定性．
3．普遍不稳定性．即便不存在明显的驱动力，如电场或重力场， 只要等离子体被约束，就会不处于理想热力学平衡．等离子体压力使 等离子体趋于膨胀，而膨胀能量能驱动一种不稳定性．在任何有限等 离子体中，总是存在这种类型的自由能，产生的波称做普遍不稳定性．
4．动力不稳定性．在流体理论中，假定速度分布是 Maxwell 的．如 果实际上分布是非 Maxwell 的，就存在与热力学平衡的偏离，速度分 布的各向异性就能驱动不稳定性．
d
，
d
18
选取
图. 小位移分析
，0 0，
，0
，0 0
代入一阶扰动方程并对时间积分，得到扰动密度，扰动压强和扰动磁 场均可以用位移表示
利用关系式
·
·
·
得到关于扰动位移满足的二阶微分方程
其中 ·
·
1
·
·
1
··
··
从理想 MHD 方程组出发，忽略外力作用，得到流体力学方程
d
·
0
d
d
d
0
和 MHD 电磁场方程
17
2.1 线性化
∂， 0， ·
不考虑平衡流动， 0，设相关物理量均可以表示为平衡状态
， ， ， 和扰动量 ， ， ， ，
的迭加，代入
动力学方程，得到零阶近似方程为
， 一阶近似方程为
，·
0
·
0
·
·0
∂
令流体质点相对于平衡位置 的位移为
15
。X 表示分离点，
3.3 Tokamark 平衡位形
等离子体环内的等离子体电流 产生的极型磁场比起等离子体 环外部的磁场要强得多。在 Tokamark 平衡位形中，必须增加垂直的 磁场减弱环内的极型磁场并增强环外部的极型磁场，如下图所示。下 面估计所需的垂向磁场 。
等离子体电流和垂向磁场引起的极型磁场
sin
0
0
9
环型磁场没有径向分量，磁力线必须分布在同一个球面上。导体球之
外不可能有磁力线。因此环型磁场不可能为球外的观测者看到。角向
型磁场
1 sin
1 sin
0
1 sin
1 sin
sin
sin
0
0
sin
1
1
sin
可见极型磁场具有径向分量，磁力线可以从导体球延伸到球外空间， 可能被观测到。
磁力线方程 ddd d d
二次函数的情形时，方程变为线性微分方程。
下面考虑一个简单情形，在等离子体边界上
，令
13
和
，而
8 则
令磁轴的位置为 ，0，0 ，有解Hale Waihona Puke 数1112
8
1
1
24
在
的立方的量级意义上，其中 ， 是常数。当右端第三项的系
数为零
1
1
0
即
1 时，成为 Grad－Shafranov 方程的 Solovev 精确解。令
5
§1 磁约束 MHD 平衡
Tokmark 磁场位型
太阳磁场特征‐3 种不同波长的光线 6
1.1 磁面
在全 Euclid 空间 中上的连续可微矢量场 ， 可以唯一地为它 的散度，旋度以及间断条件决定，如果当在无穷远处， 趋于零的速
率高于1/ ，那么
· 其中 是 Newton 位势算子。
· 如果 是无散的， ·
2
在研究等离子体的宏观运动时，通常可以近似地把它当作导电 流体来处理。这种模型适合于缓慢变化的等离子体现象。所谓缓慢变 化是指等离子体的特征长度和特征时间远大子等离子体粒子的平均 自由程和平均碰撞时间。在这种情况下，等离子体可以近似地看作处 于局部热平衡状态，因而可以像通常的流体力学中那样定义流体的速 度，压强，密度，温度等流体力学及热力学参量并用这些宏观参量来 描述等离子体的宏观运动
1．川流不稳定性．在这种情况中，或是一束高能粒子穿过等离 子体或是驱动一个电流穿过等离子体，使得不同种粒子具有彼此之间 的相对漂移．漂移能量用于激发波，并以消耗末扰动态的漂移能量为 代价而获得振荡能量．
2．交换不稳定性．等离子体有一个密度梯度或一个锐边界，因 此它是不均匀的，有一个外部非电磁力加在等离于体上，这个力驱动 了不稳定性．正如在流体力学中那样，每当一个重流体由轻流体支持 时就出现这种情况，也称为 Rayleigh－Taylor 不稳定性．
1.1 磁面 .............................................................................................. 7 1.2 Grad ‐Shafranov 方程................................................................ 11 3.3 Tokamark 平衡位形 .................................................................. 16 §2 线性化理想 MHD 方程.................................................................... 17 2.1 线性化 ........................................................................................ 18 1.2 小位移分析 ................................................................................ 20 2.2 能量原理 .................................................................................... 24 §3 理想 MHD 稳定性............................................................................ 28 3.1 交换不稳定性 ........................................................................... 30 3.2 直圆柱位形 ............................................................................... 37 3.3 气泡不稳定性 ............................................................................ 42 附 录 ...................................................................................................... 46 A.1 力算子的自伴性 ....................................................................... 46 A.2 Rayleigh‐Taylor 不稳定性........................................................ 46
则有
有
14
这是
/
1
2
8
的导体壁围合的等离子体内部的精确平衡解。曲面
， 0是分界线（separatrix），如图 7.2 所示。分界点X位于
， ，其中 在分离面处的最大值为
1
/
1
2
/
2
当把分离面作为等离子体
1 2
0
2
//
/
2
图7.2 磁通量函数（磁面）等值线 / 经过分离点的曲面为分离面。
. ，＝，
等离子体物理学讲义
No. 7
马石庄
2011．03．14．北京
1
第 7 讲 磁约束与稳定性
教学目的：以磁流体为模型，研究作为受控核聚变基础的等离子体约 束的稳定性问题，建立了描述理想磁流体稳定性的力算子及其能量原 理，示意性地建立了压强驱动的交换不稳定和电流驱动的圆柱扭曲不 稳定性的基本图景。 主要内容： §1 磁约束 MHD 平衡.............................................................................. 6