各方向约束情况不同时：
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
故取
Fcr
2EI
(0.5a)2
第十一章 压杆稳定问题
练习: 求下列细长压杆的临界力。
y
y
xz
h
z
L1
解： ①绕
y
L2
轴，两端铰支：
b
=
1
.
0
，I
y
b3h 12
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
,
Fcr, y
2 EI L22
y
=0.7，
I
z
bh3 12
,
Fcr , z
2EIz
(0.7 L1 )2
l22
（1） （2）
F ① 90 ②
将式(2)除以式（1）便得：
tg (l1 l2 )2 ctg2
l
由此得： arctg(ctg2 )
第十一章 压杆稳定问题
二、小绕度理论与理想压杆模型的实际意义
P322图11-6 直线AG与曲线AB的交点称为临界点，相应之载荷即为临
界载荷。临界点也称分支点，从该点开始，出现两种平衡 形态。按大挠度理论，当压杆处于临界状态时，其唯一的 平衡形态是直线，而非微弯。 在A点附近的很小一段范围内，可以近似地用水平线代替 曲衡线，。也从可力在学任上何，微当弯位F=置Fcr保时持，平压衡杆。既由可此在可直见线，位以置“保微持弯平 平衡”作为临界状态的特征，并根据挠曲轴近似微分方程 确定临界载荷的方法，是利用小变形对大挠度理论的一种 合理简化，它不仅正确，而且，由于求解简单，更为实用。 曲线AB在A点附近极为平坦，因此，当轴向压力F略高于 临界值Fcr时，挠度即急剧增长。由此可见，大挠度理论更 鲜明地说明了失稳的危险性。
(l)3 0.7 1.6a 1.12a
第十一章 压杆稳定问题
练习：已知图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动 求：临界压力
F
解： l AB 0.5 a 0.5a
c
lBC 0.7 0.5a 0.35a
B
F AB cr
2EI
(0.5a)2
F BC cr
2EI
(0.35a)2
a\2
a
A
同，μ不同，视综合情况而定。
4、端约束越强，Fcr越大，越不易失稳。
5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰， 这样，各方向有较一致的约束。
6、Fcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
第十一章 压杆稳定问题
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
一、临界应力与柔度 压杆处于临界状态时横截面上的平均应力，称为压杆
二、中心受压直杆稳定性分析
举例：一端固定，一端自由的钢板尺受轴向压力作用。
F
F<Fc干r
F>Fcr
扰
干
力
扰
直
稳 去不
力
线
定 除稳
去
平
平 ，定
除
衡
衡 恢平
，
状
复衡
继
态
直
续
线
弯
曲
第十一章 压杆稳定问题 三、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的能力。
2.压杆失稳（屈曲）：压杆丧失其原直线平衡状态， 不能稳定地工作。 3.临界状态：由稳定平衡向不稳定平衡过渡的状态。 4.临界载荷Fcr：使压杆直线形式的平衡开始由稳定转 变为不稳定的轴向压力值，或使压杆在微弯状态保持 平衡的最小轴向压力，称为压杆的临界载荷，用Fcr表 示。即压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定平衡 状态向不稳定状态的质变的转折点。
第十一章 压杆稳定问题
例： 图示各细长压杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P P
P 因为 l 1 l 2 l 3
又
Fcr
2EI
l 2
a 1.3a
1.6a
可知 Fcr1 Fcr2 Fcr3
(1)
(2)
(l)1 2a (l)2 1.3a
(3)
杆（1）能承受的压力最小，最先失稳； 杆（3）能承受的压力最大，最稳定。
0<θ<π/2）。
F
解：由静力平衡条件可
解得两杆的压力分别为： ① 90 ②
N1 F cos ，N2 F sin
两杆的临界压力分别为 ：
l
Fcr1
2E l12
I， F cr2
2EI
l22
第十一章 压杆稳定问题
要使F最大，只有
N1、N
都达到临界压力，即
2
F cos 2EI
l12
F
sin
2EI
两端铰支细长压杆的临界载荷与截面抗l弯刚度EI成正比，与杆件长度平方成反
比。在推导过程中，运用了边界条件，说明临界力与两端支座条件有关，惯性矩
I应为压杆横截面的最小惯性矩Imin。两端铰支细长压杆临界状态时的挠曲线为一 正弦曲线，最大挠度或幅值A则取决于压杆微弯的程度。由此可见，压杆在临界
状态时的平衡，是一种有条件的随遇平衡，微弯程度虽然可以任意，但挠曲轴形
实际压杆所能承受的最大压力必小于理想中心压杆 的临界力Fcr。
第十一章 压杆稳定问题
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
一、临界载荷的欧拉公式
1、分析思路：Fcr→临界状态(微弯)→弯曲变形→挠
曲线微分方程。
x
挠曲线微分方程：EIw" M (x) Fcr w
2、推导：Fcr
x
引用记号：k 2 Fcr ，得：w" k 2w 0 EI
二、两端固定的压杆
挠曲线：分成三段，两拐点与两端
相距均为l/4
中间段与两端铰支时一样，
相当长度为l/2
Fcr
2EI
(l / 2)2
2EI
(0.5l)2
第十一章 压杆稳定问题
3、一端固定，一端铰支的压杆
F
挠曲线：分成二段，拐点与一 端距离为0.7l
0.7l 较长的段与两端铰支时一样，
相当长度为0.7l
第十一章 压杆稳定问题
§11-1 引言 §11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷 §11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 §11-4 中、小柔度杆的临界应力 §11-5 压杆的稳定条件与合理设计 §11-6 提高压杆稳定的措施
第十一章 压杆稳定问题
§11-1 引言
①强度
构件的承载能力： ②刚度
③稳定性
0.3l
Fcr
2EI
(0.7l ) 2
统一表达式：Fcr
2EI (l)2
---相当长度系数，代表支持
方式对临界载荷的影响。µl称压 杆的相当长度或有效长度，即相 当的两端铰支压杆的长度，或压 杆挠曲轴拐点间的距离。
第十一章 压杆稳定问题
F
F
F
l
l
0.7l 0.3l
F
l/4 l/2 l/4
2
1
第十一章 压杆稳定问题
cr
Fcr A
2EI
l2 A
2E
l / i2
2E 2
l
i
称为压杆的柔度（细长比）。综合地 反映了压杆的长度l，支持方式 与截 面几何性质i对临界应力的影响。
cr
2E 2
Fcr
A cr
2EA 2
细长压杆的临界应力，与柔度的平方成反比， 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
压杆保持直线状态平衡 的最大力；使压杆失稳
第十一章 压杆稳定问题
在临界载荷作用下，压杆既可在直线状态下保持 平衡，也可在微弯状态下保持平衡。所以，当轴向压力 达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将失稳。 5.压杆失稳原因：
①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。