2, x 1
解：(1)当a 1时，f (x) x 1 x 1,即f (x) 2x, 1≤ x ≤1,
2, x 1
f
(x)
1的解集为x
x
1 2
.
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高三一轮复习 不等式选讲
第二节 绝对值不等式的解法
知识回顾
一般地说，解含有绝对值的不等式，关键在于设法去掉绝对值 符号，把问题转化为不含绝对值的普通不等式或不等式组求解. 去掉绝对值符号的常见方法有：
1.绝对值的几何意义； 2.零点分段； 3.分段函数图像； 4.平方(注意等价性). 高三一轮复习
解析：（1）零点分段
原不等式可化为
1
x 1 x≥x
或 1
x
x ≥1 1≥ x
1
解得x ≤ 0或x
所以原不等式的解集为 （ ,0].
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典例导练
江西省宁都中学
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
(2018年全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1.
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
(2)当x(0,1)时，x 1 x 1, f (x) x可化为ax 1 1,
当x (0,1)时，不等式 1 ax 1 1恒成立，即0 ax 2恒成立，
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变式1.不等式 2x 1 2x 1 ≤4的解集为 [1,1] .
变式2.不等式 2x 1 x 1 ≤4的解集为 [6,2] .
解析：（1）
x
1 2
或
1 2
≤
x
≤
1 2
或
x
1 2
4x ≤ 4 2 ≤ 4
4x ≤ 4
（2）
x1 2
x2≤
4
或
1≤x 2 3x ≤
≤1或 4
x
x 1 2≤
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变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .（利用绝对值几何意义求解）
不等式
x a
x a
a0
a0
a0
x a x a x a x a x a x a
x x a或x ax x a或x a x x a或x a
xa
a x, x a x a, x ≥ a
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例1.请利用绝对值的几何意义快速解出下列不等式的解集并完成表格.
(1) x 1; (2) x 0 ; (3) x 1; (1)x 1 x 1 (2) (3)
(4) x 1; (5) x 0 ; (6) x 1. (4)x x 1或x 1 (5)x x 0 (6)R
“分”：0 a 2 恒成立，而x (0,1)时，2 (2,), a (0,2].
x
x
“合”：设 g(x) ax, x (0,1), 当a 0时不合题意，
当a
0时，00≤≤
g(0) ≤ 2 g(1) ≤ 2
,即a
(0,
2].
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含有绝对值不等式 x a与 x a 的解集：
不等式
a0
a0
a0
x a
x a x a
x a
x x a或x a x x 0
R
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典例导练 变式1.不等式 x 1 1的解集为 (0,2) . （利用绝对值几何意义求解）
x 1 1
f (x) 1
f (x) a, a 0
f (x) a, a 0 a f (x) a f (x) a, a 0 f (x) a或f (x) a
2x, x 1
x2 x≤14 或
12≤≤x4≤1或
x 2x
1 ≤4
,
分别解得
2 ≤ x 1或 1≤ x ≤1或1 x ≤ 2,
即原不等式的集为 [2,2].
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解析： （2）函数图像
（3）平方
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
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例2.解不等式 x 1 x 1 ≤4.
解析：(1)几何意义
所以原不等式的解集为 [2,2].
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例2.解不等式 x 1 x 1 ≤4.
2x, x 1
解析：(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1，所以原不等式等价于
4
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实战演练
(2018年全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1.
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
高考回顾
（2018全国Ⅰ卷23）已知 f (x) x 1 ax 1. (1)当a 1时，求不等式f (x) 1的解集； (2)若x (0,1)时不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时，求不等式f (x)≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x)≥ g(x)的解集包含[1,1],求a取值范围.
化为同解 f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 不等式 f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
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变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .