典例6 已知如图，菱形ABCD的对角线 AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，求菱 形的高。 A D 解：
作边BC上的高AE ∵AC与BD垂直平分 AC=6， BD=8 ∴CO=3，BO=4 ∴BC=5 ∵BC×AE=1/2AC×BD ∴5×AE=1/2×6×8 ∴AE=4.8 O
B
E
C
等式左右两边 都表示这个菱 形的面积 。
典例10、如图，在正方形ABCD中， M是BC上一点，N是CD上一点，且 △MCN的周长等于正方形周长的一半 D N C ， F 求∠MAN 的度数。 提示：延长 ND 至F，使得
DF=BM，连结AF 证明△ANF≌△ANM 从而得出：∠FAN=∠NAMA ； M B
∠FAN+∠NAM=90°
最后得出∠MAN=45 °
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO 又∵AF=CE ∴AE=CF ∴EO=FO
∴BE=DF， ∠3=∠4
∴BE∥DF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将△AOB完全展开． (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论； (2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．
四边形复习集锦
一般的平行四边形 菱 形 平行四边形 特 殊 的 矩 形 四 平行四边形 正方形 边 一般梯形 形 梯 形 等腰梯形 特殊梯形 直角梯形 一般四边形
文字语言叙述 几何符号表述 O 在 ABCD中 ABCD中 ①两组对边互相平行 ∵在四边形 A B ②两组对边分别相等 OA=OC ∠ A= C AB=CD AB ∥∠ CD 平 性质 ③一组对边平行且相等 ∴四边形ABCD OB=OD ∠ B= ∠ D 是 ABCD AD AD=BC ∥ BC ④两组对角分别相等 行 ⑤对角线互相平分
交AC于O，连接BN、DM。
// ∵AB CD ，∴四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD，OA=OC， ∵MA=NC ∴OA+MA=OC+NC ∴OM=ON 又OB=OD
// DN ∴四边形MBND是平行四边形，∴BM
典例4 把正方形ABCD绕着点A，按顺时针 方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交 于点H（如图）。 试问线段HG与线段HB相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
(1)展开图如图所示，它是菱形． 证明：由操作过程可知 OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又∵ OA⊥OB， 即AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形．
(2)△AOB中，∠ABO=45° (或∠BAO=45°或OA=OB)．
典例3 如图，在平行四边形ABCD中， //CD，M、N在直线AC上， AB 且MA=NC，问BM和DN存在 怎样的关系？说明理由。 证明： // DN，连接BD BM
解：HG=HB。 证法1：连结AH， ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴ ∠B=∠G=90° 由题意知AG=AB，又AH=AH ∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL） ∴ HG=HB
证法2：连结GB ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴ ∠ABC=∠AGF=90° 由题意知AB=AG ∴ ∠AGB=∠ABG ∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB ∴ HG=HB
C
双基训练：
4cm 1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2、菱形ABCD中∠BAD＝60度，则∠ABD＝_______. 60°
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的 边长是 5cm . 4、若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°， 则它的面积S =
3 2 cm 。 2
D
5.已知AB、CD是⊙O的两条直径，则.正方形
C.菱形
D.矩形
6.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F 是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩 形ABCD的周长为32cm，求AE的长.
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ⑴菱形是特殊的平行四边形，具有 D 性质 平行四边形的所有性质 A ⑵菱形的特殊性质： O ①菱形的四条边都相等 菱 ②菱形的对角线互相垂直平分 B 每一条对角线平分一组对角 ③菱形是轴对称图形；有两 形 条对称轴 ⑴四条边都相等的四边形 菱 判别 ⑵对角线互相垂直平分的四边形 ⑶有一组邻边相等的平行四边形 形 ⑷对角线互相垂直的平行四边形
M A
A
M
E
E
N
N
B
B
D
D
C
C
5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别 在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF 。 （1）求证：△BDF≌△CDE； （2）当AB=AC时，试判断四边形BFCE的形状， 并说明理由。
典例1 如图，E，F是平行 四边形ABCD的对角线AC上 的点，CE=AF，请你猜想：
C
E
典例5：AC为正方形ABCD的对角线， E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC 交BC于F，试证：EC=EF=FB
证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 A D
E B F
C
∴∠B=900 ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE， AF=AF ∴△ABF≌△AFE（HL） ∴BF=EF 又∵∠FEC=900 ∴∠EFC=450 ∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC
典例7 如图,E为菱形ABCD边BC上的一 点，AB=AE，AE交BD于F， ∠DAE=2∠BAE D (1)求证：EB=FA (2)求∠ABC A 的度数。
C
典例8、在正方形ABCD中，F是CD上的 点，E是BC延长线上的点，CE=CF D A 求证：BF=DE
证明： ∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=DC
A
D E F
BE与DF有怎样的关系？ 并对你的猜想加以证明
B
C
A E
D
2
3 4 1 F C
B
猜想： BE∥DF, BE=DF
B
A
D
E
o
F
C
证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形 ∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中 BC=AD ∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF
证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF
⑴有三个角都是直角的四边形 ⑵对角线互相平分且相等的四边形 判别 ⑶有一个角是直角的平行四边形 ⑷对角线相等的平行四边形
矩 形
双基训练：
1.下列命题中错误的是（ A. 平行四边形的对边相等 C. 矩形的对角线相等
D
） B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边 形 D. 对角线相等的四边形是矩形
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则 BD的长为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
D O C
性质
A
正 方 形
⑴正方形同时具有
B
菱形的所有性质
矩形的所有性质 ⑵正方形是轴对称图形；有4条对称轴
⑴先判定四边形是矩形； 判别 再判定这个矩形是菱形 ⑵先判定四边形是菱形； 再判定这个菱形是矩形
双基训练：
1.下列命题中，真命题是 （ ） A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2.正方形具有而菱形不具有的性质是（ A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线平分一组对角
5、菱形具有而矩形没有的是（ A．对角线相等
B．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
D
）
C．一组对边平行，另一组对边相等
6、能判定一个四边形是菱形的条件是（
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直且相等 C．邻边相等 D．对角线互相垂直平分
D
）
一组邻边相等的矩形叫正方形 定义： 或 有一个内角是直角的菱形叫正方形
∠BCD=∠DCE 又∵CF=CE ∴△BCF≌△DCE ∴BF=DE B F C E
典例9 过正方形ABCD对角线BD上的一 点P，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F D A 求证：AP=EF
证明：连结AC、PC ∵正边形ABCD是正方形 P· F ∴BD垂直且平分AC ∴PA=PC B E C ∵ PE⊥BC， PF⊥CD，∠BCD=90° ∴四边形PECF是矩形 ∴EF=PC ∴AP=EF
认真想 准确填
1.两组对角分别相等的四边形是 平行四边形 。
2.对角线互相垂直、平分且相等的 四边形是
正方形 。
3.四边形绕其对角线交点旋转90度后与原四边形重 正方形 。 合，这个四边形是
4.用一根较长的绳子怎样检验方桌面是否为矩 形？ 。
仔细观 细心算
1.菱形对角线长为4cm、8cm，其边 长为 2√5 cm，面积为 16 cm² 2.如图，延长正方形ABCD的边BC 到E，使CE=CA，连接AE交DC于F， 则∠E= 22.5°，∠AFC= 112.5° 。 A D F B
A
3.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2， 则矩形的对角线AC的长是（ ）
A.2
B.4
B
C.2
3
D.4
3
第3题图
第4题图
4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩 形，需要添加的条件是（ ） A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
D C
四 边 形
①两组对边分别平行的 四 ②两组对边分别相等的 判别 ③一组对边平行且相等的 边 ④两组对角分别相等的 形 ⑤对角线互相平分的