留数定理：复变函数的积分理论和级数理 论的相结合的产物。
§1 留数定理
如果函数f (z)在z0的邻域内解析, 根据柯西积分定理
f (z) d z 0.
C
如果z0为f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去
心邻域0<|z-z0|<R内，包含z0的任意一条正向简单闭
曲线C的积分
f (z)d z
[思路二]
f (z) d z 2π ic1.
C
由罗朗级数系数公式
cn
1 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
d
z
若令n=-1, 得
c1
1
2i
C
f
(z)d z
或
f (z) d z 2ic1
C
结论：从上面的讨论可知, 积分的计算可转化为求被积
函数的罗朗展开式中z- z0的负一次幂项的系数c1。
点, 且
Res[
f
( z ),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
注意规则3的应用条件
3、奇点留数计算公式总结： 奇点 z0 的类型 可去奇点
一阶 普遍公式 极点
m 阶极点
本性奇点
12
例1:
Res[
1
cos z2
z
,0]
0
例2:
计算
z1
Res[e z ,0]
Q
1 cos
lim
z0
z2
z
1 2
z=0是本性奇点
f (z)d z f (z)d z f (z)d z f (z)d z
C
C1
C2
Cn
根据留数的定义，有
1
2 π i
Ck
f (z)d
n
z
Res[
f
( z ),
zk ](k
1,2,
, n)
即 f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立 奇点留数的局部问题。
z1
ez
1 z
1 z2 2!
L
1
1 z
1 2!z 2
L
L
1 1 L
n0 n!(n 1)! z
z 1
Res[e z ,0]
1
n0 n!(n 1)!
例3.计算
dz
dz
dz
zi
1
z2
, 1
zi
1
z2
, 1
z
2
z2
. 1
解. z=i与z=-i为
f
(z)
z
1 2
的一阶极点,故
1
Res zi
Res[f( z ),z0]lim (z
zz0
z0
)
f
(z)
规则2 如果z0为f (z)的m级极点， 则
Res[
f
( z ),
z0 ]
1 (m 1)!
lim
zz0
d m1 d z m1
[( z
z0 )m
f
(z)]
规则3
设 f (z) P(z)
Q(z)
,
P(z)及Q(z)在z0都解析, 如
果P(z0)0, Q(z0)=0, Q′(z0)0, 则z0为f(z)的一级极
讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理 的关系如何？
f (z) d z 0.
C
Ñc
f (z) dz
z z0
f (z0 )2 i
n
f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ]
C
k 1
三、留数的计算 1、留数只对孤立奇点而言才有意义。 2、求罗朗级数中c1(zz0)1项的系数c1。
f
(z)
lim( z
zi
i)
f
(z)
1 zi
z i
1 2i
,
1
Res f (z) ,
zi
2i
从而
zi
1
dz z2 1
,
zi
1
dz z2 1
,
z
2
dz z2 1
0.
cos z
例4. 计算 z 1 z3 dz.
解
f (z) cos z z3
以z=0为其三阶极点, 故
Res
z0
f
(z)
第五章 留数定理
§1 留数定理 §2 留数在定积分计算上的应用（一） §3 留数在定积分计算上的应用（二）
学习要求 1. 掌握留数的概念和留数定理。 2. 熟练掌握留数的计算方法；能熟练利用留数定 理求沿封闭曲线积分；掌握利用留数定理计算定 积分（主要是三种类型）的方法。
考核知识点 1. 留数的定义。 2. 可去奇点留数的计算。 3. 本性奇点留数的计算。 4. 极点留数的计算。 5. 留数定理 6. 利用留数计算定积分
Res[ f (z), z0 ] c1
二、留数定理
留数定理： 如果函数f (z)在一条正向简单闭曲线C上连续，在C的
内部除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析。 则
n
f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ]
C
k 1
[证] 把在C内的孤立奇点 zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简 单闭曲线Ck围绕起来, 则根据多连 通域的柯西积分定理有
一、 留数的定义
定义 若f (z)在去心邻域 0 z z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z z0内 包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z)d
z
为函数f (z)在z0的留数(Residue)，记作 Res[f (z),z0] 。
1
即 Res[ f (z), z0 ] 2i C f (z) d z
已讲：一个解析函数与在它的解析区域内的各处
的函数值有很强的内在联系，突出表现在柯西积
分公式及其推论：
Ñc
f (z) dz z z0
f (z0 )2 i
Ñ f (n) (z0 )
n!
2 i
c
f (z) (z z0 )n1 dz
(n 1, 2,...)
本章主要讨论这种关系的另一种表现形式： 解析函数的积分值与函数的奇点的关系。
1 lim 2! z0
d2 dz 2
z 3
f
(z)
1 lim cos
2! z0
z
1. 2
由留数定理得
z
1
cos z3
z
dz
2
i
1 2
i.
例5.不讲
计算
z
1
z sin z (1 ez )3
dz.
解 在单位圆周|z|=1内,f 孤立奇点,
(
z)
C
一般就不等于零。
思考：积分等于多少?
[思路一] 将f (z)在此邻域内展开为罗朗级数
f (z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...
后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c-1 (z-z0)-1的 一项等于2ic-1外， 其余各项积分都等于零，所以
如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利。 1）如z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f (z), z0]=0;
2）如果z0是f (z)本性奇点, 将f (z)在其z0的去心邻域中 展开为罗朗级数，求c1 ;
3）如果z0是f (z)的极点, 则可以利用以下的规则：
（极点留数的计算规则）
规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则